Ne vous attendez pas ici à un cours complet d'algèbre pour le lycée ; cela est impossible dans un espace aussi limité. Ce n'est que l'essentiel -- juste trois idées fondamentales et des règles sur les relations ("équations") contenant des quantités inconnues dont vous essayez de trouver les valeurs.
Jusqu'à avoir effectuer la multiplication, on peut représenter la réponse par une lettre, habituellement x, et écrire
On peut alors dire : "x remplace la quantité inconnue". L'idée fondamentale de l'algèbre est très simple :
La quantité inconnue x est un nombre quelconque. Il peut être ajouté , soustrait , divisé ou multiplié de la même façon que pour les nombres habituels.
Une relation mathématique impliquant des nombres connus (comme 25 ou 40) et inconnus (comme x) est une équation. Souvent x n' est pas donné aussi clairement que ci-dessus, mais est caché dans une expression compliquée. Pour arriver à la solution, il faut remplacer la (ou les) équations connues par d'autres, contenant la même information mais apparaissant plus évidentes. Le but final est d'isoler l'inconnue (" isola " : île en italien), pour rendre à l'équation sa première forme , soit :
x = (expression ne contenant que des nombres connus)
Une fois cette présentation atteinte, le nombre représenté par x peut être rapidement calculé.
Par exemple :
"Quel est le nombre qui, si vous le doublez, puis lui additionnez 5, puis divisez cette somme par 3, est égal à 3?"
Appelons ce nombre x. L'information donnée en une phrase peut également être notée sous forme d'équation :
(2x + 5)/3 = 3
Les parenthèses unissent ici les quantités manipulées en un seul nombre. ( 2x signifie "2 fois x." En algèbre, les symboles (ou les parenthèses) placés l'un à côté de l'autre doivent être multipliés. IEn se tenant à cette règle, vous ne confondrez jamais la lettre x et le signe similaire de la multiplication. Les programmes des ordinateurs représentent d'ailleurs habituellement la multiplication par *, placé un peu plus bas qu'ici.
Une deuxième idée fondamentale de l'algèbre est :
Si vous modifiez exactement de la même façon les deux côtés d'une équation, vous obtenez une équation tout aussi valable.
Vous pouvez y ajouter, soustraire, multiplier ou diviser n'importe quel nombre, le résultat est encore valide aussi longtemps que cette manipulation est effectuée également des deux côtés de l'égalité. En outre, la nouvelle équation contient toujours la même information qu'auparavant. (mais ne multipliez pas les deux côtés par 0 , sinon vous obtenez 0 = 0 ; le résultat est correct, mais toute votre information s'est volatilisée.)
Par exemple, dans l'équation donnée plus haut :
(2x + 5)/3 = 3
Multipliez les deux côtés par 3 :
(2x + 5) = 9
Soustrayez 5 des deux côtés :
2x = 9 – 5 = 4
Divisez les deux côtés par 2 :
x = 4/2 = 2
et vous avez le résultat, x = 2. L'algèbre du lycée est beaucoup plus complète , mais avec ces règles simples , plus le but de base "isoler le nombre inconnu," vous parcourerez un bon bout de chemin.
Une dernière étape est fréquemment omise, à tort. Pour vérifier l'absence d'erreur, reprenez l'équation d' origine :
(2x + 5)/3 = 3
et remplacez la quantité inconnue x par la valeur que vous avez calculée -- ici, le nombre 2 -- et contrôlez si les deux côtés sont effectivement égaux. S'ils le sont, vous êtes certain que la réponse est correcte.
Un troisième élément est la substitution:
Si une inconnue, quantité ou expression, peut être exprimée de différentes manières, vous pouvez substituer à sa place l'autre façon de l'exprimer. Cela donne une nouvelle équation, susceptible de mener à la solution.
Supposons deux inconnues, x et y, et deux équations les contenant toutes les deux (deux sont nécessaires pour obtenir une seule solution -- avec seulement l'une des deux, la solution serait donnée par un nombre infini de couples x et y) :
x + 2y = 7 (1)
2x + y = 5 (2)
Soustrayez 2y des deux côtés de (1):
x = 7 – 2y (3)
et appliquez ce résultat au x de (2)
2(7 – 2y) + y = 5
Puis éliminez les parenthèses
14 – 4y + y = 5
Soustrayez 14 des deux côtés :
– 4y + y = 5 - 14
-3y = -9
Multipliez les deux côtés par (-1)
3y = 9
y = 3
Alors , en reprenant (3)
x = 7 – 2y = 7 – 6 = 1
Comme vérification, mettez x=1, y=3 dans les équations (1) et (2) et assurez-vous que les solutions sont bonnes. Sinon, vous avez probablement commis une erreur quelque part au cours du calcul..
Un autre type de substitution, la substitution d'équations entières, est expliquée à la fin de la section (M-3), sur les formules.