(M-5) Deducción de Resultados Aproximados

Cálculo Preliminar

Dada una fracción a/b, se puede multiplicar su parte superior e inferior (numerador y denominador) por el mismo número c:

(a/b) = (ac)/(bc)

donde (¿recuerda?) las dos letras ac representan "a veces c", lo mismo para bc.

Es así porque (c/c) = 1, no importa cual sea el valor de c, y multiplicando algo por 1 no modifica su valor. En la multiplicación de fracciones, la regla es multiplicar numerador con numerador y denominador con denominador, por lo que se obtiene

(a/b) (c/c) = (ac)/(bc)

Con respecto a la división del numerador y denominador por el mismo número d

(a/b) = [a/d]/ [b/d]

resulta de inmediato el precedente, si se escoge el número c que sea igual a 1/d.

Trabajando con Pequeñas Cantidades

Algunas ecuaciones, igualdades o fórmulas contienen pequeñas cantidades, y pueden hacerse mucho más simples y fáciles sacrificando algo de precisión. De hecho, algunas ecuaciones que no tienen una solución sencilla (como la ecuación de Kepler en la sección (12a)) puede conseguirse, de esta forma, una solución aproximada, lo suficientemente buena para la mayoría de usos o bien abierta a posteriores mejoras.

Muchos de tales cálculos utilizan la siguiente observación. Cuando deducimos cuadrados, cubos, etc... de números mayores que 1, los resultados son siempre mayores, mientras que para números menores que 1, los resultados son siempre menores. Por ejemplo:


potencia	Más que 1	Menos que 1
número	10	0.1
cuadrado	100	0.01
cubo	1000	0.001
4ª potencia	10,000	0.0001

Esto también se cumple para los números negativos, si entendemos "mayor" y "menor" refiriéndose al valor absoluto (el valor sin signo). Por ejemplo:


potencia	Más que 1	Menos que 1
número	-10	-0.1
cuadrado	100	0.01
cubo	-1000	-0.001
4ª potencia	10,000	0.0001
5ª potencia	-100,000	-0.00001

Supongamos que z es un número mucho menor que 1 (escrito z << 1, o para valores absolutos |z| << 1). Por la igualdad de la sección M-4

(1 - z)(1 + z) = 1 - z²

Puesto que z² es mucho menor que 1 ó z, podemos escribir, usando el símbolo ~ para "aproximadamente igual a"

(1 - z)(1 + z) ~ 1

y dividiendo ambos lados por (1 -z)

(1+z) ~ 1/(1-z)

(Muchos textos usan el símbolo ~ colocado sobre el signo igual; sin embargo esa combinación no es posible en los textos web). Por ejemplo (compruébelo con su calculadora)

luego 1/(1-z) = 1/0.99 = 1.010101...

que es bastante parecido a (1+z).

La regla básica es: se pueden despreciar pequeñas cantidades como z, z², z³ etc. cuando están sumadas a (o restadas de) otra mucho mayor. No se puede hacer eso si se está multiplicando o dividiendo, porque entonces, si se eliminan, se desvirtúa la ecuación que la contiene.

Aquí z puede ser positiva o negativa. Si escribimos z = -y, donde y es un número pequeño de signo contrario, obtenemos

(1-y) ~ 1/(1+y)

que es otro resultado útil, válido para cualquier número pequeño. Si ese número pequeño se cambia de nombre y se le llama z (no el mismo z que antes, por supuesto), tenemos

(1-z) ~ 1/(1+z)

el que puede también obtenerse de la ecuación anterior

(1 - z)(1 + z) ~ 1

dividiendo ambos lados por (1 + z).

En la sección (34a) donde se calcula la distancia a punto lagrangiano L1, se hace necesario una aproximación 1/[1-z]³. Comenzando de (1+z) ~ 1/(1-z) y elevando ambos lados a sus cubos:

(1+z)³ ~ 1/(1-z)³

Desarrollando el lado izquierdo:

(1 + z)³ = (1+z)(1+z)(1+z) = (1 + 3z + 3z² + z³)

Sin embargo, si z² y z³ son mucho menores que z, eliminar los términos que los contienen solo incrementa ligeramente el error, obteniendo

1/(1-z)³ ~ 1 + 3z

La sección siguiente es opcional.

Un paso más lejos: El Teorema del Binomio

En forma debida 1/(1-z)³ es (1-z) elevado a -3. Esto sugiere que más generalmente, para una z pequeña y para cualquier valor de a

1/(1-z)^a ~ 1 - az

y de igual forma

1/(1 + z)^a ~ 1 + az

(estas son la misma fórmula, para una z positiva y negativa). De hecho esto es verdadero y a puede ser positiva, negativa o una fracción. Es a consecuencia de un resultado demostrado por Newton, también llamado teorema del binomio. Para quien le interese, esa fórmula enuncia

1/(1 + z)^a = 1 + az + [a(a-1)/2] z² + [a(a-1)(a-2)/6] z³ + ...

donde el denominador de la fracción que precede a zⁿ se obtiene multiplicando conjuntamente los números enteros (1,2,3... n), un número que se designa como n! y al que se llama "factorial de n"
Si a es un número entero positivo, la secuencia a, (a-1), (a-2)... finalmente llega a cero y el término donde esto ocurre se iguala a cero, al igual que a lo que siga, por contener el "factorial" cero. La serie de potencias de z finaliza con z^a y se obtienen fórmulas como la que calculamos anteriormente para a=3:

(1 + z)³ = (1 + 3z + 3z² + z³)

Esos casos del teorema del binomio eran conocidos antes de Newton. Lo que él mostró es que el teorema también es válido para valores fraccionarios y negativos de a, para los que la serie de la derecha va incrementándose sin fin. Si z es pequeña, esas potencias se convierten rápidamente en muy pequeñas y no se genera mucho error si se desprecian y se escribe (para una z de cualquier signo)

1/(1 + z)^a ~ 1/(1 + az) ~ 1 - az

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Author and Curator: Dr. David P. Stern
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Spanish translation by J. Méndez

Last updated 13 December 2001