Problemas

   Los profesores que usen este material en clase pueden obtener una las soluciones por correo, enviando una solicitud personal en papel con el membrete de la institución académica a:
  Dr. David P. Stern, 31 Lakeside drive, Greenbelt, MD 20770, USA
 
 

1. [1] Considere que está mirando hacia abajo sobre el sistema solar desde algún lugar al norte de él (desde la dirección de la estrella Polar). Observará que la Tierra gira alrededor del Sol en la dirección contraria a las agujas del reloj. Si supone que la Tierra está fija y es el Sol el que se mueve ("movimiento aparente del Sol"), ¿Cómo circunvala el Sol a la Tierra, en el sentido de las agujas del reloj o al contrario? 

 
2. [1] Dispone de un telescopio, montado sobre un eje ecuatorial, con un mecanismo para seguir las estrellas. Su visor tiene retículo y una escala que pasa por el centro de su imagen. 

Supone que las posiciones de las estrellas cercanas al horizonte están movidas debido a la refracción de la luz a través de la atmósfera. (El aire refracta la luz mucho menos que el agua o el vidrio, pero la luz de una estrella cercana al horizonte debe pasar a través de una capa muy gruesa.) ¿Cómo puede comprobarlo y medir el efecto si es que existe? 
 
3. [1] Está en un bote salvavidas cerca del ecuador, en algún lugar al sur de Hawaii. La estrella Polar está muy cerca del horizonte para ser vista, pero Orión está en el cielo, también cerca del horizonte, y sabe que las 3 estrellas visibles en línea que forman el "cinturón" de Orión están a horcajadas sobre el ecuador celestial. ¿Cómo localiza donde está el norte?

 
4. [2] Rudyard Kipling en su poema "El Camino a Mandalay" (Mandalay está en Birmania-Myanmar) escribió "...Y el sol surge como un trueno / Sobre el camino a Mandalay." 
1. Si amanece algo más rápido en los trópicos, o más lentamente o de otra manera, ¿la latitud no lo modifica?  Explíquelo. 
2. Está en la orilla del mar en el trópico, viendo el ocaso. Si despreciamos la curvatura de la luz en la atmósfera y sabemos que el tamaño visual del disco solar es de medio grado de diámetro, ¿Cuánto tiempo pasa (aproximadamente) desde el momento en que el disco justo toca el horizonte hasta que desaparece completamente?

 
5. [2a] ¿Puede un reloj de sol funcionar correctamente si su nomón no forma su sombra en una superficie horizontal sino en una vertical, p.e. el muro de una casa? Explíquelo.

 
6. [2a] Imagine que ha construido un reloj de sol muy grande, lo suficientemente grande como para tener divisiones para los minutos entre las líneas horarias. Lo ha corregido para su posición en su zona horaria y tuvo en cuenta la ecuación del tiempo. ¿Que más puede afectar a su precisión?

 
7. [3] A altas latitudes, cercanas al polo, Alaska, Canadá, Escandinavia, etc., el Sol nunca está lejos del horizonte. En el verano se mueve alrededor del horizonte y puede ser visible durante 18, 20 o incluso las 24 horas del día. Durante el invierno el Sol solo sale durante poco tiempo o no sale, como ocurre en las regiones próximas al polo. 

 ¿Se comporta así la Luna?
 
8. [3] La gente que mira la Luna desde los EE.UU. ve los ojos del "Hombre en la Luna" sobre su mitad de superior y su boca en la mitad inferior. La gente del sur de Argentina, ¿lo ve igual o al revés? Expliquelo.

 
9. [5] (a)Un satélite polar, en órbita terrestre baja, pasando sobre los dos polos, efectúa 16 órbitas diarias. Visto desde la Tierra, ¿qué separación de longitud tienen sus pases consecutivos sobre el ecuador?

     (b) La Lanzadera Espacial está en una órbita terrestre baja inclinada unos 30º del ecuador. ¿Qué separación tienen sus pases consecutivos sobre el ecuador? (sen30° = 0.5). 
 
10. [5] La guerra entre Japón y los EE.UU. comenzó en 1941 cuando los aviones japoneses bombardearon, casi al mismo tiempo, las bases norteamericanas de las Islas Filipinas y de Pearl Harbour en Hawai. Los libros de historia narran que Pearl Harbour fue atacada el 7 de diciembre de 1941, mientras que las Filipinas lo fueron el 8 de diciembre. ¿Cómo pudo ser eso?

 
11. [5a] Este problema concierne al ejemplo (2) de la sección sobre navegación, sobre la posición del Sol al mediodía durante el solsticio de verano (21 de junio).  Una fórmula que aparece allí enuncia que el ángulo a al sur del cenit, al que el Sol cruza al mediodía la dirección norte-sur a cualquier latitud l, en ese día es igual a
a = l - e

donde e=23.5° es el ángulo de inclinación con el que se desvía el eje de la Tierra de la perpendicular a la eclíptica. ¿Qué ocurre si l es menor que e?
 

12. [6] Un calendario de mesa está formado por dos cubos, uno junto al otro sobre un estante, para marcar el día del mes, desde el 01, 02, 03.... al ...29, 30, 31. Reordenando los cubos, el propietario del calendario puede siempre mostrar el número de la fecha correcto. ¿Qué dígitos deberá haber sobre las caras de cada cubo, si el número "6" también se usa como "9" cuando se coloca al revés?

 
13. [6] En un lugar típico de la Tierra, ¿cuántas salidas de la luna ocurren en un año?


Sugerencia: La Luna circunvala la Tierra en la misma dirección de giro que esta. Suponga una cuerda sin peso que conecta la Tierra y la Luna. Cuando gira la Tierra, la cuerda se enrolla a su alrededor, pero como se estira perfectamente, nunca se rasga sino que siempre continúa uniendo los dos cuerpos. 
Después de un año, ¿cuántas veces se enrolla la cuerda alrededor de la Tierra? 
 

14. [6] Un satélite sincrónico mantiene su posición sobre el mismo punto de la Tierra. ¿Su período es de 24 horas o de 23h 56.07m ("día estelar")?

 
15. [6] En el calendario de los indios mayas, en Yucatán, a una latitud de unos 20º norte, se les daba una atención especial a los "días zeniales", cuando el Sol de mediodía estaba exactamente en lo alto ("en el cenit"). ¿En que fechas del año (aproximadamente) eran esos días?

 
16. [7] En uno de los eclipses de 1999 la Luna no es capaz de tapar el Sol al completo. En medio de la zona del eclipse, donde se podría prever un eclipse total, permanece un delgado anillo de luz, extendiéndose por todo el disco de la Luna. Desconociendo más sobre ese eclipse, ¿en que época del año cree más probable que ocurra?

 
17. [8] (a) El radio de la Tierra es de 6371 km. ¿Cual es la velocidad, en m/s, de un punto sobre la superficie en el ecuador de la Tierra?

     (b) Cuando se lanza un cohete, no comienza con velocidad cero, sino con la velocidad de rotación que le proporciona la Tierra. De ese modo, si se lanza un cohete hacia el este requiere un menor empuje ( y hacia el oeste uno mayor) para ponerse en órbita. Cabo Cañaveral está a 28.5 º de latitud norte [cos(29.5) = 0.8788]: ¿cuantos m/s ganamos lanzando el cohete hacia el este? Si la velocidad orbital es de 8 km/s, ¿qué porcentaje ganamos? (Una razón importante para situar la principal base de lanzamiento en Cabo Cañaveral fue la posibilidad de efectuar los lanzamientos hacia el este sobre el océano).
 
18.   (a) [8b] ¿Pudo haber usado Hiparco un reloj de sol para comprobar si el eclipse en el Helesponto y en Alejandría alcanzó su máximo a la vez?

  (b) [8c] Obviamente, un reloj de sol no funciona de noche, pero ¿pudo haber usado Hiparco un instrumento que siguiese la posición de las estrellas (en la forma que lo hace el reloj con el Sol) para indicar la duración del eclipse lunar ?
  (c) [8c] Hagamos que la duración del eclipse lunar sea desde que la Luna se oscurece completamente, hasta el momento que comienza a descubrirse; por supuesto, es visible en todos los lugares de la Tierra en donde sea de noche. 
  Del mismo modo, la duración de un eclipse solar será el tiempo entre el comienzo de la totalidad en cualquier lugar de la Tierra y el final de la totalidad en cualquier otro lugar. ¿Cuál, en su opinión, dura más y por qué: es más largo el lunar o el solar?
 
19. [8c] Calcule el tamaño (en grados) del ángulo ACB o A'CB' del dibujo de la sección (8c), p.e. los ángulos entre las líneas desde ojos derecho e izquierdo hasta su pulgar extendido. Asuma que la regla aproximada de que AC y BC son 10 veces la distancia es exacta. Mejor que usando la trigonometría, puede ver la distancia AB como parte de un gran círculo.

 
20. [8c] A cuántos km equivale un parsec? Y un año luz? Tome como radio de la órbita terrestre el valor de 300 millones de km y la velocidad de la luz de 300,000 km/s. 
  (Este cálculo se hace mejor usando la notación científica. Quizás conozca el término "número astronómico" cuando un número es muy, muy grande; quizás por eso se originó este término). 

 
21. [9a] Exprese el resultado de la observación de la posición de la luna media (en la forma en que lo creía Aristarco), usando los términos "paralaje" y "línea base".

 
22. [9b] (a) Si Aristarco hubiese continuado observando eclipses lunares, podría sacar en conclusión que el ancho de la sombra de la Tierra no era de 2 veces el de la Luna, sino 2.5 veces. Usando una observación más precisa, ¿cuántos diámetros de la Luna serán iguales al ancho de la Tierra? 

(b) En el dibujo de la sección (9b), suponga que estamos en una nave espacial cerca del punto C durante un eclipse de Luna. ¿Qué veríamos?
 
23. [10] La estrella nova de Tycho tenía una ascensión recta RA = 0 h, 22 m, una declinación d = 63° 53'. Mire en un mapa estelar y diga en que constelación ocurrió.
24. [10] La sección #8b, sobre el uso de un eclipse total de Sol para el cálculo de la distancia a la Luna, incluye un mapa del eclipse del 11 de agosto de 1999. Se muestra la trayectoria de totalidad sobre el Mar Negro, como muestras de la región de totalidad en horarios elegidos. Puede observar que cada región es casi circular. 

Sin embargo, sobre un mapa de la trayectoria completa de la totalidad (que, por cierto, es posible encontrar en el sitio web citado allí) , encontrará que cuando sigue la trayectoria, esta se va haciendo más y más elíptica y alargada. Cuando el eclipse finaliza, con el ocaso en la India, la trayectoria es una larga elipse. ¿Por qué? Y, ¿por qué se supone que la duración del eclipse allí es menor?
 
25. [10] Tomando de un manual de los 4 satélites principales de Júpiter, los períodos T en días y las distancias r en millones de kilómetros (conocidos como los "satélites de Galileo" por haberlos descubierto Galileo) son:

26. [10]  (a) La 3ª ley de Kepler es T² = K R³, donde T es el período orbital de un planeta, R su distancia media del Sol y K es una constante para todos los planetas. Asuma que las órbitas son circulares alrededor del Sol.


 La fórmula dice claramente que si un planeta está más distante del Sol (R mayor), también necesita más tiempo en completar cada órbita (T también es mayor). Podría ser que todos los planetas se movieran a la misma velocidad V, pero los más distantes necesitarían más tiempo para completar cada órbita porque sus órbitas son mayores, ¿o los planetas más distantes se mueven más lentamente?

 Imagine dos sistemas planetarios con órbitas circulares, a la distancia R un planeta se mueve con una velocidad V y necesita un tiempo T para completar una órbita. Los sistemas obedecen leyes diferentes: en el primero se sigue la 1ª ley de Kepler, en el segundo todos los planetas se mueven con la misma velocidad V, sin importar a la distancia en que se encuentren. Si vamos a un planeta con un radio orbital 2R, ¿son iguales los períodos orbitales en ambos sistemas? o si no ¿en qué sistema es mayor el período orbital?

  (b) (La solución de la sección a se usará aquí.) Suponga que en un universo diferente, con leyes diferentes, existía el segundo sistema planetario, en el que todas las órbitas circulares tenían la misma velocidad V. ¿Qué probabilidad existe de que encontrásemos un par de órbitas circulares, una en cada sistema, que compartiesen la misma distancia R, la misma velocidad V y el mismo período T? Explíquelo. 
 

27. [10] La distancia media de Neptuno al Sol es de 30.07 AU (= unidad astronómica, que es la distancia entre el Sol y la Tierra), la de Plutón 39.4 AU. ¿Están estos números relacionados? (Pista: Deduzca la relación de los períodos orbitales!)

 
28. [10] El período del Cometa Halley es aproximadamente de 75 años. Asumimos que su perigeo es a 0.5 AU del Sol. ¿Cuántas AU hay desde el Sol hasta su apogeo? ¿Va más allá que la distancia media de Plutón al Sol, unas 39 AU? 

 
29. [12] Un satélite en una órbita circular justo sobre al superficie terrestre (r = 1 Re) necesitará 8 km/s para ponerse en órbita. Si se envía un misil a la misma velocidad derecho hacia arriba, que altura alcanzará?


Pistas: (1) El semieje mayor de una órbita depende solo de su energía de lanzamiento. (2) La trayectoria de un objeto lanzado derecho hacia arriba se pude ver como una elipse de ancho cero. 
 

30. [12] El satélite científico ISEE 1 tiene su perigeo a 1.2 Re y el apogeo a 23 Re. ¿Cuánto más lento es su movimiento en su apogeo comparado con su perigeo?

 
31. [12] Los meteoritos tienden a caer más frecuentemente por la tarde, sugiriendo que alcanzan a la Tierra en su movimiento orbital. Esto, ¿qué nos indica sobre su origen?

 
32. [13]
• (a) Una bola de golf se lanza a 45º de la horizontal y alcanza una distancia de 50 m. Si su velocidad inicial es v, exprese el tiempo t que permanece en el aire. Desprecie la resistencia del aire.
• (b) Exprese la distancia horizontal cubierta usando los términos v y t. 
• (c) Usando el dato de que la bola recorre 50 m., calcule v y t.
• (d) El astronauta Alan Shepard golpea una bola de golf estando en la Luna, donde la aceleración de la gravedad es solo g/6. Si se lanza la bola a 45º como en el ejemplo anterior, ¿hasta dónde alcanzará? 

 
33. [13] Unos jugadores de béisbol han atrapado bolas arrojadas desde lo alto del Monumento a Washington en Washington, DC, EE.UU., (la altura de la cristalera es de unos 550 pies, 1 pié = 30.5 cm). ¿Cómo se puede comparar su velocidad con la alcanzada por el lanzamiento de un pitcher profesional, que puede alcanzar las 90 mph? (1 milla = 1.6 km aprox.) Asuma que g = 10 y desprecie la resistencia del aire. 

 
34. [14] Si una fuerza F se define mediante la suma de dos fuerzas F_x y F_y perpendiculares entre si, los valores de F_x y F_y no están definidas de forma unitaria. Explique porqué y demuestre que en todos los casos la suma de F_x² + F_y² es siempre es igual. 

 
35. [14] Cuando se define un vector AB mediante sus componentes AC y CB, dibujamos un rectángulo (o paralelogramo) ACBD, en el que AB es la diagonal. En la suma vectorial, por tanto, AB = AC + CB. ¿Cómo podemos expresar la otra diagonal? (Pista: puede usar el signo menos.) 

 
36. [14] Un vector 3-dimensional V tiene los componentes de magnitudes (V_x V_y V_z) junto con sus ejes perpendiculares. Si V es la magnitud del vector suma, demuestre que
V² = V_x² + V_y² + V_z²

(Pista: ¡Use Pitágoras!). 
 

37. [15} Un estudiante que pesa 44 kg se come una barra de chocolate con leche. Suponiendo que el cuerpo convierte el 20% de la energía en fuerza muscular, ¿que altura tendría, aproximadamente, la montaña que puede escalar el estudiante con la energía proporciona por la barra de chocolate? Tome a g = 10 m/s². 

 
38. [20] Si T₁ es el período orbital alrededor de la Tierra a la distancia radial de 1.1 Re (radio de la Tierra) y T₂ el período orbital alrededor de la Luna a 1.1 Rm (Rm = radio de la Luna), ¿cual es mayor y por cuánto? Asuma que en la Luna la aceleración de la gravedad es 1/6 g y que Rm = 0.273 Re. 

 
39. [21] La Tierra se mueve alrededor del Sol en una órbita que es casi circular, a 30 km/s. Una nave espacial tiene la velocidad suficiente para escapar a la gravedad terrestre. ¿Cuánta velocidad necesita para abandonar el sistema solar?

 
40. [21] Suponga que una sonda espacial escapa a la gravedad terrestre, pero todavía comparte el movimiento orbital de la Tierra alrededor del Sol, casi circular a 30 km/s. Se enciende el cohete del vehículo para proporcionarle una velocidad contraria de 30 km/s; se consigue que su velocidad neta sea cero y caiga hacia el Sol.


 ¿Cómo hallaremos el tiempo T necesario para alcanzar el Sol? (Pase por alto que se fundirá por el camino). Calcule T, si puede.

 Pista: ¿Nos puede ayudar la 3ª ley de Kepler? 
 

41. [21a] Los satélites del Sistema de Posicionamiento Global (vea la sec. #29d) están en órbitas de 12 horas. Si las órbitas son circulares, ¿cuál es su distancia al centro de la Tierra?

 
42. [22a] En el problema (17) se indicó que un cohete lanzado hacia el este desde Cabo Cañaveral necesita un menor empuje que el lanzado hacia el oeste, debido a que ya tiene la velocidad proporcionada por el giro de la Tierra, que equivale a unos cientos de m/s. Un cohete lanzado hacia el oeste necesita, del mismo modo, más empuje, la misma cantidad. 

  Los aviones comerciales que vuelan hacia el este o el oeste, ¿experimentan algo similar debido a la rotación terrestre? 
 
43. [23] Una cuerda de longitud L, con un peso m en su extremo, cuelga de un gancho giratorio que la hace girar con un período T (como algunos carros de parque de atracciones, que están suspendidos por cadenas). Cuando la cuerda gira, describe un cono y este forma un ángulo a con la vertical. Exprese a (o su seno o coseno).

 
Pista: En un marco giratorio, la cuerda forma un ángulo constante a con la vertical, bajo la acción de la fuerza centrífuga y de la gravedad. Cada una de esas fuerzas se puede descomponer en su componentes, a lo largo de la cuerda y perpendicular a ella. 

Las componentes a lo largo de la cuerda mantienen la cuerda estirada. Sin embargo, si la cuerda está en equilibrio en el marco de referencia, las componentes perpendiculares deben de cancelarse entre si, p.e. ser iguales: si cualquiera es más intensa, la cuerda deberá moverse en su dirección y cambiar el ángulo a. 


 
44. [24] Julio Verne afirmaba, en su libro "De la Tierra a la Luna", que para los pasajeros de un vehículo espacial viajando de la Tierra a la Luna, la dirección "abajo" se invierte cuando pasan desde la región donde la gravedad terrestre es mayor que la de la Luna a otra donde la de la Luna empezaba a predominar, siendo "cero g" el punto donde ambas eran iguales. ¿Era una idea equivocada?

 
45. [24] Antes de la época de los satélites, alguien sugirió que realmente estábamos viviendo dentro de una esfera hueca giratoria y que lo que pensábamos que era la gravedad en realidad era la fuerza centrífuga. ¿Cuántos argumentos puede proporcionar contra esa teoría?

 
46. [27] Los motores de los cohetes están refrigerados por el combustible y el oxidante (p.e. oxígeno líquido) que circula por tuberías alrededor de las partes calientes, antes de ser quemado. ¿Qué necesita más refrigeración, la cámara de combustión o la ancha "campana" por donde salen los gases? 

 
47. [30] El proyectil SHARP pesa 10-20 kg. ¿Por qué necesita el cañón vagones de retroceso? y ¿por qué cree que el posterior del barril auxiliar es 10 veces más pesado que el otro? 

 
48. [34] Suponga que está en el espacio en el punto L2 del sistema Sol-Tierra. Si mira en la dirección de la Tierra: ¿Qué ve? 

  Puede asumir que la anchura de la Tierra es 3.5 veces mayor que la de la Luna (vea el problema 15), que la Luna está a 60 radios terrestres del centro de la Tierra y que, tal y como se ve desde la Tierra, es igual de tamaño que el Sol. 
 
49. [34] El sistema Tierra-Luna también tiene los puntos Langrangianos L1 y L2. Su punto L2 está en el lado opuesto de la Luna, a casi la misma distancia que el L1. ¿Es este punto L2 un buen lugar para vigilar la cara oculta de la Luna, p.e. para las violaciones a la prohibición de pruebas nucleares?

 
50. [34] Marte tiene una gravedad superficial de 0.39 g o casi 3.9 m/s², un radio r = 3332 km y un período de rotación de 24 hr. 37.38 min.

(a) ¿Cuál es la velocidad orbital a la distancia r? 
(b) ¿Cuál es la velocidad de escape de su superficie?
(c) Para las comunicaciones, los astronautas sobre Marte pueden usar un satélite sincrónico. ¿A que distancia R (en radios de Marte) orbitará? (Use una calculadora con raíces cúbicas o potencias de 1/3.) 

...y solo como diversión

 Los nombres fueron otorgados en el siglo XVII y los últimos en llegar tuvieron que arreglarse con los restantes: los cráteres Newton y Cavendish están en el borde sur del disco visible, Goddard y Lagrange también están cerca del borde. Asimismo, el "Galilaei" es un cráter pequeño y mediocre (¿debido al destierro de Galileo?), Metón y Pitágoras están sobre el borde, cerca del polo norte. Sin embargo, como los rusos fueron los primeros en observar la cara oscura de la Luna, un destacado cráter allí lleva el nombre de Tsiolkovsky.

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Author and Curator:   Dr. David P. Stern
     Messages to Dr.Stern:   stargaze("at" symbol)phy6.org   (English, please) .

Spanish translation by J. Méndez

Last updated 13 December 2001