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(M-11a) Ejercicios de Trigonometría

Las secciones (M 6-11) le proporcionaron algunos principios de trigonometría. Esta sección puede depararle la práctica aplicando dichos principios. En algunos casos se dan las soluciones, pero no las mire hasta que haga los esfuerzos necesarios para resolverlas usted mismo

Hemos intentado evitar ejercicios repetitivos: cada conjunto es diferente. Hágalos todos, ¡no deje ninguno! Asumimos que dispone de una calculadora que puede deducir senos y cosenos y que también dispone de las funciones sen-1 y cos-1 que sirven para encontrar el ángulo A a partir del senA o el  cosA, en la gama de 0 a 180 grados. 
 
 
    Un triángulo ABC tiene un ángulo recto C y dos ángulos agudos A y B. Los lados del triángulo AC y BC de ambos lados del ángulo recto C están dados como:
      (a) AC = 3     BC = 4
      (b) AC = 5     BC = 12
      (c) AC = 8     BC = 15
    En cada caso, use el teorema de Pitágoras para encontrar el tercer lado y luego encuentre el seno y el coseno de los ángulos A y B.
     
     
  1. Está ascendiendo por un camino y ve un signo que le indica que tiene 5 grados, o sea que asciende 5 m por cada 100 m de camino. ¿Cuál es el ángulo entre el camino y la dirección horizontal?

    2.  

     

  2. Un aeroplano vuela a 170 km/s hacia el nordeste, en una dirección que forma un ángulo de 52° con la dirección este. 


    3. El viento está soplando a 30 km/h en la dirección noroeste, formando un ángulo de 20º con la dirección norte. ¿Cuál es la "velocidad con respecto a tierra" real del aeroplano y cuál es el ángulo A entre la ruta real del aeroplano y la dirección este?

(La solución está abajo: léala solo después de haber trabajado el problema usted mismo. Los profesores en clase pueden sustituir los números y las direcciones) 

Indiquemos la velocidad del aeroplano relativa al aire como V, la velocidad del viento relativa a tierra como W, y la velocidad del aeroplano relativa a tierra U=V+W, donde la suma es uno de los vectores. Dibuje un diagrama con las velocidades dadas y con los ángulos adecuadamente designados. 

Para ejecutar la suma real cada vector debe descomponerse en sus componentes. Obtenemos

Vx = 170 cos(52°) = 104.6    Vy = 170 sen(52°) = 133.96

Wx = -30 sen(20°) = -10.26     Wy = 30 cos(20°) = 28.19

Sumando:

Ux = 94.4     Uy = 162.15 

De Pitágoras, dado que  U2 = Ux2 + Uy2,             U= 187.63 km/h 

Por consiguiente

cos A = Ux /U = 0.503125
Usando la función cos-1 de la calculadora
A = 59.8° 

  1. En un triángulo ABC, denominamos los ángulos (A,B,C) de acuerdo a sus esquinas ("vértices") y denominamos los lados (a,b,c), de tal forma que el lado a está enfrentado al ángulo A, el b con en ángulo B y el c con el C. Pruebe la "ley de los senos" 


    2. senA/a = senB/b

    Pista: Desde C dibuje una línea CD perpendicular al lado c. La línea CD es una "altura" del triángulo y  por consiguiente se podrá denominar por la letra h. Use h en su prueba.
     

  2. Antes de intentar el próximo problema, advierta dos puntos:
  • Si en la prueba anterior hubiésemos usado una "altura" perpendicular desde A o B, en vez de desde C, obtendríamos una relación como 


    • senA/a = senC/c

    Por consiguiente, la "ley de los senos" es completamente simétrica: 

    senA/a = senB/b = senC/c

  • La suma de los ángulos de un triángulo es siempre 180º. Una prueba rigurosa conlleva bastante trabajo, pero la afirmación se puede hacer verosímil mediante el argumento siguiente. En un triángulo ABC, dibuje una línea por el punto C que sea paralela a AB. Esto crea dos ángulos adicionales, A' y B'. 


    • Los tres ángulos (A',C,B') suman 180º, debido a que son adyacentes entre si y formados por una línea recta. Sin embargo, por las propiedades de las líneas paralelas, los ángulos (A,A') son iguales, como los (B,B'). Sin embargo (A,C,B) también suman 180º.
El problema: En el triángulo ABC, la línea AB está a lo largo de una ribera estrecha. Medimos la distancia c = AB como 118 m, y los ángulos A y B tiene 63° y 55° . ¿Cuál es la distancia b = AC? 

No lea más hasta que intente resolverlo. Los profesores, en clase, pueden sustituir las cifras y las direcciones.
 
Debido a que la suma de todos los ángulos es de 180º, el ángulo C debe ser igual a 62°. Luego por la ley de los senos
118/sen(62°) = b/sen(55°) 

Multiplique ambos lados por el sen(55) para obtener la longitud b = AC. 

Pregunta adicional: ¿cual es la distancia perpendicular desde C a la línea c = AB? (pista: es igual a la altura h en la deducción del problema (4).)
 
  1. (después de la sección M-10) Halle el seno y el coseno de


    2. (1) 145°         (2) 210°         (3) 300°

  2. (a) Cuando un rayo de luz choca contra la superficie de una superficie plana de cristal, generalmente se desvía formando un ángulo. Dibuje una línea perpendicular al punto de la superficie donde incide el rayo. Si el rayo alcanza la superficie con una trayectoria que forma un ángulo A con la superficie, continúa dentro del cristal formando un ángulo B, donde
      3. sen B = (sen A)/n

      El número n ("índice de refracción") es una propiedad del cristal y es mayor que 1.

       El problema: dando valores a A=0, 20, 40, 60, y 80 grados y n = 1.45, ¿cuál es el valor de B en cada caso?

    (b) se cumple la misma ley cuando la luz sale del cristal, excepto que ahora se proporciona el valor del ángulo B (dentro del cristal) y se deberá hallar el ángulo A (en el aire). Usaremos
sen A = n senB

Si esta fórmula no funciona por cualquier motivo, el rayo no puede salir del cristal, sino que se refleja sobre la superficie límite de nuevo hacia el cristal como en un espejo ("reflexión interna total")

 El problemo: Dado B = 0, 20, 90, 60, 80 --¿cuáles son los ángulos A? ¿Con alguno de estos no sale el rayo del cristal ?

     (Por cierto: la razón de que un prisma divida la luz es porque el valor de n depende ligeramente del color de la luz -o, más exactamente, de su longitud de onda).
  1. En un conjunto de coordenadas cartesianas, el punto P tiene las coordenadas (x,y) y, como su muestra en el dibujo, x = OA, y = PA.


    2.  Un segundo sistema con el mismo origen O tiene (x',y') formados girando los ejes (x,y) a derechas un ángulo a. En el mismo dibujo, la nuevas coordenadas de P son x' = OB y' = PB.

     Usando los puntos auxiliares (C,D,E) y la líneas auxiliares AE ay AD, exprese x' e y' en términos de x, y, sena y cosa.

     Pista (siga estos pasos en el dibujo). Los dos triángulos CBO y CPA son rectángulos, y como la suma de los ángulos de un triángulo es 180º, los dos ángulos agudos de cada uno suman 90º. De estos ángulos agudos, los dos que se encuentran en C son iguales y, por consiguiente, los otros dos también serán iguales.
        De los otros ángulos AOB está determinado serán igual a a. Por lo tanto el ángulo APC también es igual a a, como se indica. Intente resolver el problema antes de continuar.

Solución

 Recuerde: en un triángulo rectángulo con una ángulo a, si multiplica el lado largo

  • por el cosa, obtiene el lado cercano a a 
  • por el sena, obtiene el lado opuesto a a
Esto sugiere que se debe prestar atención especial a los triángulos rectángulos cuyos lados largos son x e y, a saber los triángulos OAD y PAE. Si es posible, intentaremos expresar x' e y' en función de los lados de esos triángulos.

x' = OB = OD-BD = OD-AE = OA cosa - AP sena = x cosa - y sena

y' =BP = BE+EP = AD+EP = OA sena + AP cosa = x sena + y cosa

Escribamos el resultado final:

x' = x cosa - y sena

y' = x sena + y cosa

Práctica de Álgebra: usando las dos relaciones anteriores, ¿puede expresar (x,y) en función de (x',y')? Deberá usar sen2a + cos2a= 1. 
Indique también que el resultado es consecuente con la primera fórmula, si intercambiamos los papeles de (x,y) y (x'y') y sustituya el ángulo de rotación por (-a).

 Eso también estará de acuerdo con la figura, en donde (x,y) se obtiene girando (x',y') a izquierdas un ángulo a, que puede ser visto como una rotación a derechas un ángulo (-a).
        Pulse aquí para ver una discusión adicional de este resultado, especialmente para aquellos que han estudiado la sección #12A "Como se calculan las órbitas".

  1. ¿Cuánto mide la línea de latitud L si la Tierra es una esfera y la distancia desde el polo al ecuador es de 10,000 km? ¿Cuánto mide un grado de longitud a la latitud L?

    2.     ¿También es válida la fórmula para latitudes sur?
     
     
  2. (a) Si el cos X = 2 senX, cúal es el sen X?  ¿Cuál es el ángulo X? 

    3. (b) ¿Es esta la única solución?
        Pistas:
    (a) Use cos2X = 4 sen2X 
    (b) Dado que trabajamos con una ecuación que solo implica cuadrados, cualquier solución de ella solo impone sen2X y cos2X. Sin embargo, la condición original también requiere que cos X y sen X tengan el mismo signo algebraico.

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Author and Curator:   Dr. David P. Stern
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Spanish translation by J. Méndez

Last updated 13 December 2001