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AC y CB se llaman los componentes de AB (ó vectores
componentes de AB) a lo largo de las dos direcciones dadas. AD y DB,
que tienen la misma longitud y dirección, son también una
solución y representan los mismos componentes, la diferencia es
que su suma se efectúa en orden inverso. Si AA' y AA" no son perpendiculares
entonces ACBD es un paralelogramo.
Los usos de los vectores componentes
Descomponer los vectores en sus componentes puede ser muy útil.
Se dan tres ejemplos abajo y hay más en la sección (22a).
(a) Suma de varios vectores
Considere que se necesita sumar 10 vectores (si, existe esa circunstancia..).
Para conseguirlo de la forma descrita anteriormente, sumamos los dos primeros
vectores cabeza con cola, luego sumamos el tercero a la suma, luego el
cuarto,... ¡tediosa labor!
Una forma más rápida es escoger dos direcciones perpendiculares,
y al igual que se indicaba en las coordenadas cartesianas,
podemos denominarlas "la dirección x" y "la dirección
y".
Descomponemos cada vector V en sus componentes: "Vx"
en la dirección x y "Vy" en la dirección
y.
Ahora no tenemos 10, sino 20 vectores que necesitamos sumar,
pero el trabajo es mucho más sencillo. De estos vectores, 10 están
alineados con la dirección x y los vectores en la misma dirección
(como el viento de cola del ejemplo anterior del aeroplano) se suman
igual que números ordinarios. Lo mismo se hace con los 10 vectores
alineados en la dirección y. El problema ahora es reducir
las dos series de sumas y restas ordinarias (los vectores opuestos
tienen el signo menos), y solo se necesita la suma de tipo vectorial en
la suma de los totales de las direcciones x e y.
Nota: El mundo real es tridimensional y así son
sus vectores. Pero los vectores en 3-D también se pueden resolver,
cada uno de ellos es igual a la suma de los tres vectores en las direcciones
(x, y, z); ahora el rectángulo es una caja
rectangular. Los componentes del mismo tipo se suman como en el ejemplo
bidimensional anterior y la suma final implica una suma vectorial en cada
dimensión. Ahora el vector suma es la diagonal de la caja rectangular,
en la cual las tres sumas son los lados de dicha caja.
(b) Cálculo del vector suma
La suma cabeza a cola de vectores nos permite construir su suma gráficamente.
Los componentes permiten ser calculados.
Tome el primer ejemplo de suma de vectores, un aeroplano volando hacia
el este a 200 mph (su velocidad de vuelo, su velocidad relativa
al aire), mientras a 100 mph sopla el viento hacia el nordeste. El triángulo
de la suma de los vectores de este ejemplo está en la parte inferior
del dibujo de esta sección.
Haga que la dirección x sea hacia el este y la y hacia el norte.
Luego los componentes de la velocidad (x,y) son, en mph,
-
--de la velocidad de vuelo, (200,0)
-
--de la velocidad del viento (100 cos 45o,100 sen 45o)
= (70.7, 70.7)
dado que el cos 45o = sen 45o = 0.707 (para
deducir
aquí). Así los componentes
de la velocidad total son
(Vx,Vy) = (200+70.7,0+70.7) = (270.7,70.7)
esto nos da la velocidad total V. Por el teorema de Pitágoras,
V2 = (Vx)2 + (Vy)2
dando la magnitud de V aproximadamente 280 mph, mientras que el ángulo
agudo en el punto A del dibujo (lo llamaremos A, también) satisface
que
senA = 70.7/280 = 0.2527
De donde A es aproximadamente 16.º.
(c) El plano inclinado
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Imagine
que el vector dado está representado por la fecha AB del dibujo
y queremos descomponerlo en las partes de la suma de dos vectores dirigidos
a lo largo de AA' y AA". Dibujamos líneas a lo largo de AA' y AA"
y también líneas paralelas a ellas desde B, el otro final
del vector. Si AA' y AA" son perpendiculares entre si (lo usual), entonces
estas líneas encierran un rectángulo ACBD, donde AB
es su diagonal. Es evidente que AC y CB son la solución a nuestro
problema y en la suma de vectores
