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#21c     Vol vers Mars : les Calculs

   


        Dans la section précédente, la route pour Mars a été identifiée à une ellipse de transfert de Hohmann . Le temps requis a été calculé, environ 8.5 mois, et aussi la position de Mars à l'heure du lancement, environ à 45°de celle des deux planètes après leur rapprochement.

        Cette section calcule deux détails essentiels : la poussée en vitesse nécessitée pour placer le vaisseau spatial sur l'orbite de transfert, et la vitesse d'arrivée au niveau de l'orbite de Mars. Le vaisseau spatial rattrapera-t-il la planète ou sera t il rattrapé par elle, et quelle sera la différence de vitesse entre le vaisseau et la planète -- une différence qui exigera probablement une mise à feu additionnelle de fusée ? Continuez cette lecture, et vous le saurez si vous pouvez manipuler une algèbre élémentaire.


Notations et vitesses d'Evasion

    Il faut d'abord établir une notation pour les quantités qui seront impliquées ici. Bien que certaines soient des vecteurs, seules leurs grandeurs seront manipulées. Le caractère "gras" n'est employé que pour souligner et n' indique jamais un caractère vectoriel.

    Comme précédemment, r1 = 1 AU, distance terre- soleil , celle de Mars r2 = 1.523691 AU. On admet (avec approximation) que les deux planètes se déplacent sur des cercles.

    La vitesse V sera mesurée en kilomètres par seconde (km/s), et les différentes vitesses seront identifiées par leurs indices. v minuscule identifie les vitesses liées aux orbites terrestres de la terre et non solaires.

    La section précédente a déjà présenté la vitesse orbitale V0 de la terre autour du soleil, s'élevant à environ 30 km/s (plus avec précision, 29.77 km/s), beaucoup plus importante que les 8 km/s environ de v0 ~ 8 km/s nécessaires à un satellite orbitant autour de la terre au ras de sa surface (en négligeant l'atmosphère !). On a noté dans la section 21 que la vitesse ve d'évasion d'une orbite basse est obtenue en multipliant v0 par la racine carrée de 2, égale à 1.41421356.... ici ,en valeur approchée : 1.414. Ce qui donne

ve = 1.414 v0 = (1.414)(8) = 11.312 km/sec

    Un tel vaisseau spatial n'est toujours cependant pas libre de se déplacer n' importe où dans l'espace. La vitesse ve a annulé l'influence de la pesanteur de la terre, mais pas celle de l'attraction du soleil, autour duquel il continue à se déplacer, sur une orbite semblable à celle de la terre, à V0 =30 km/s .

    La situation est maintenant complètement analogue à celle nécessaire à s'échapper d'une orbite terrestre basse (seulement cela coûte plus cher !). Pour se libérer d'une orbite circulaire autour du soleil et quitter le système solaire, le vaisseau spatial doit amplifier sa vitesse "en une seconde vitesse d'évasion"

Ve = 1.414 V0 = (1.414)(30) = 42.42 km/s

    Pour atteindre Ve il faut forcément encore augmenter la vitesse de 12.42 km/s par rapport à ce qui est demandé pour s'échapper de l'attraction de la terre, à partir de l' immobilité à sa surface. Heureusement, il y a des possibilités (discutées dans la section 35) pour fournir par le mouvement des planètes (ou de la lune) une partie de cette poussée.

    D'autres vitesses sont nécessaires au calcul : la vitesse V1 avec laquelle le vaisseau spatial démarre pas loin de la terre et commence l'ellipse de Hohmann (à la distance r1du soleil), et la vitesse V2 avec laquelle il atteint l'orbite de Mars (à la distance r2). En outre, il faut connaître V3 , vitesse de Mars sur son orbite, en la supposant constante (c.-à-d. si l'orbite de Mars est supposée circulaire). Si V2 > V3,le vaisseau spatial rattrape Mars, tandis que si V2 < V3, il est rattrapé.

Equations Requises

    (1) Les Lois de Kepler

  •     La première loi dit que "Les planètes se déplacent sur des ellipses, avec le soleil à l'un de ses foyers." Elle est "prête à l'emploi", et, par exemple, l'ellipse de transfert est une telle orbite.

  •     La seconde loi dit que "la ligne reliant une planète au soleil parcourt des secteurs égaux en des périodes égales." Essayons d'en extraire une équation utile.
Application of Kepler's 2nd law
Application de la 2ème
loi de Kepler

    Ce schéma montre l'orbite de Mars (en plein) et celle de l'ellipse de transfert (ligne pointillée), avec les rayons (r1, r2) respectivement au périgée et à l'apogée, là où la vitesse du vaisseau spatial atteint (V1, V2). Les courts segments dessinés en ces endroits représentent la distance couverte par le vaisseau spatial exactement une seconde aprés avoir dépassé le périgée ou l'apogée. De par la définition de la vitesse ("distance par seconde") ils égalent également V1 et V2. En fait, ces segments devraient être courbes comme l'orbite, mais ils sont si courts qu'ils diffèrent très peu de lignes droites, ce qui permet de les considérer comme les bases de longs triangles effilés.

    Notez que chacun de ces triangles est rectangle parce qu'à l'apogée et au périgée la ligne au soleil est perpendiculaire à l'orbite .(Et nulle part ailleurs)

    Au périgée, la hauteur du triangle est r1, la longueur de sa base est V1, donc, selon la formule des surfaces du triangle, A1

   

A = (1/2) (hauteur) (base)

nous obtenons pour le triangle A1 :
A1 = (1/2) r1 V1

    A l' apogée, la hauteur est r2, la base V2, et la surface du secteur est

   

A2 = (1/2) r2 V2

    Chacun de ces triangles est balayé en une seconde, et, de par la 2ème loi de Kepler, leurs surfaces peuvent être considérées comme égales. Rapprochons les deux côtés de ces égalités :

   

        r1 V1 = r2 V2             (1)

    (L'équation est numérotée pour s'en rappeler ultérieurement). Veuillez noter que cette relation n'est valable que seulement au niveau de l'apogée et du périgée. A d'autres points de l'orbite, l'angle entre le rayon et l'orbite n'est pas de 900, et l' évaluation de la surface dépend également de cette exactitude.

    La troisième loi de Kepler a été déjà employée pour déterminer la période orbitale. Elle sera encore nécessaire en fin de calcul.

    (2) La formule de l'Energie

    Dans la section #12 nous avons établi que l'énergie E d'un satellite de masse m tournant autour de la terre est, à un point quelconque de son orbite,

          E   =   (1/2) mV2   –   km / r         (2)      

avec : r , la distance du point au centre de la terre, V , la vitesse du satellite à ce point, et k une constante déterminée, connexe à l'accélération de la gravité g. Puisque l'énergie E est conservée, cette expression vaut pour n'importe quel point l'orbite. Il y a une relation similaire pour les orbites autour du soleil, bien que la valeur de k soit différente. Nous pouvons évaluer k dans ce cas en employant une astuce simple, basée sur la vitesse d'évasion.

    Comme déjà dit, un objet en orbite terrestre qui échappe complètement à l'attraction du soleil (mais tout juste !), a une vitesse Ve = 1.414..V0 = 42.42 km/s. Notons E0 l'énergie d'un tel objet. Alors, puisque

Ve2 = 2 V02

nous obtenons (au niveau de l'orbite de la terre)

E0 = m V02   –   km / r1

    Avec cette vitesse d'évasion, si nous attendons très longtemps, cet objet sera extrêmement loin et, ayant pratiquement épuisé toute son énergie cinétique, sa vitesse sera presque nulle. Alors les deux termes du côté droit de l'équation (2) tendent vers zéro, donnant :

   

E0 = 0


            Il faut préciser la signification du signe de E:
    E négatif identifie toujours des orbites elliptiques liées au soleil, comme ceux des planètes. E positif caractérise la trajectoire "hyperbolic" "hyperbolique" non liée au soleil, comme celle de la sonde spatiale Voyager 2, qui, sortie du système solaire, maintient toujours une vitesse appréciable dans l'espace obscur et lointain. E=0 est "parabolique " et caractérise les mouvements à la frontière entre les deux groupes, non limités en distance mais ralentissant jusqu'à se traîner quand cette distance augmente. Les orbites des comètes non - périodiques sont proches de ce comportement.


Ainsi nous avons vu que :

m V02   –   km / r1 = 0

    Divisons par m et chassons le signe négatif à droite

   

V02 = k / r1

    la valeur de k peut donc s'écrire

   

                            k = V02 r1                     (3)              

Les Calculs

    Revenons maintenant au vaisseau spatial sur son orbite de transfert pour Mars, son énergie doit être la même au périgée P et à l'apogée A. Aussi, par l'équation (2)

   

1/2 m V12   –   km / r1   =   1/2 m V22  –   km / r2

    Divisez les deux côtés par m ("annulation de m"), et multipliez les deux côtés par 2

   

V12   –   2 k / r1   =   V22   –   2 k / r2

Le transfert des termes (en échangeant les quantités appropriées de chaque côtés) et par substitution de (3) donne

V12   –   V22   =   2 V02 r1 (1/r1   –   1/r2)  

                    =   2 V02 (1   –   (r1/r2)                     (4)


    A ce stade, il est utile de réviser des principes. Nous avons deux -- et seulement deux -- quantités inconnues, V1 et V2 , et deux équations différentes qui les impliquent, (1) et (4). En mathématiques, en général, deux équations sont suffisantes pour trouver deux inconnues. Ce n'est pas une garantie absolue, mais habituellement c' est possible, et en particulier ici.


        La tactique habituelle pour résoudre de tels cas consiste en :
  1. Placer une variable dans une équation en termes de l'autre.
  2. Remplacer cette représentation dans l'autre équation, de sorte qu'il n'y ait juste qu'qu'une équation et une inconnue.
  3. "Déplacez" les termes en les additionnant, soustrayant, multipliant, divisant et autres manœuvres, en exécutant les mêmes opérations des deux côtés, jusqu'à ce que la quantité restante et inconnue soit isolée d'un côté, et l'ensemble connu de l'autre côté. Maintenant la quantité inconnue peut être évaluée en termes de connu, et c' est, naturellement, la solution.
    Cela peut sembler simple, et c'est souvent ainsi.. Il est toujours utile de respecter ces étapes, parce que le processus mène parfois à des expressions compliquées . À chaque étape, simplifiez si vous pouvez ! Autrement, même si la mise en forme algébrique est correcte, des erreurs sont facilement faites quand, à mi-chemin du processus, les expressions deviennent grandes et compliquées .

        Comme première étape, prenez l'équation (1) pour exprimer V2 :

       

                        V2 = V1 (r1/r2)                     (5)

    Portez au carré :
    V22 = V12(r12/r22)

        Substitution de ceci au côté gauche de (4)

       

    V12 – V22   =   V12 (1   –  (r12/r22))

                             =   V12 (r22   –  r12) / r22

        Ceci peut être égalisé au côté droit de (4), et alors nous avons une équation pour l'étape (2) -- juste une équation, avec seulement une inconnue, à savoir V1. Mais plutôt que de se précipiter, il est payant de séparer les facteurs autant que possible. Peut-être cela simplifiera- il quelque chose!

        Par une identité bien connue (voir également les "identités")

       

    (r22   –  r12)   =   (r2 + r1) (r2   –  r1)

    ainsi :             

    V12   –  V22   =   V12 (r2 + r1) (r2 – r1) / r22                        (6)

        Prenez (6) comme référence et considérez le côté droit de (4). Nous pouvons y introduire un dénominateur commun : r2:

    2 V02 (1 – (r1/r2))   =   2 V02 (r2– r1)/ r2             (7)

        Par (4), les expressions (6) et (7) sont égales :

       

    V12 (r2 + r1) (r2 – r1) / r22   =   2 V02 (r2 – r1)/ r2

        Notre manœuvre a réussie : les deux côtés peuvent être divisés par (r2 - r1), ), ce qui enlève ces termes, et les deux côtés peuvent également être multipliés par r2 , , pour simplifier. Si nous nous étions précipités plus vite, nos expressions pourraient avoir été beaucoup plus inextricables ! Il reste :

       

    V12 (r2 + r1) / r2 = 2 V02

        Multipliez par r2, divisez par (r2 + r1), ), et la quantité inconnue est isolée, au carré, mais c' est CORRECT :

       

    V12 = 2 V02 r2 / (r2 + r1)             (8)

        Il est temps de mettre en chiffres :

       

    2 r2 / (r2 + r1) = 2 (1.523691) / (2.523691) = 3.047382 / 2.523691 = 1.20751

    ainsi
    V12 = 1.20751 V02

        Extraire les racines carrées des deux côtés () (Première loi de l' algèbre )

       

    V1 = 1.098867 V0

       
    Si V0 = 30 km/s

    V1 = 32.966 km/s

    Cela montre qu'il faut juste ajouter 2.966 km/s, " un poil près " de 3 km/s, ou 10% de la vitesse orbitale.

    Arrivée sur Mars

    La vitesse V2 à laquelle le vaisseau spatial arrive sur Mars est tirée de (5)

       

    V2 = V1 (r1/r2) = (1 / 1.523691)( 32.9674) km/s

       

    = 21.6356 km/s

        Une partie de l'énergie cinétique moVe a été perdue pour lutter contre l'attraction du soleil et des perturbations plus lointaines, à l'extérieur du système solaire. La question importante est maintenant de la comparer avec la vitesse V3 ,celle de Mars sur son orbite .

        Pour calculer une vitesse en km/s, les distances doivent être évidemment données en kilomètres et les temps en secondes, mais " au grand profit de ceux qui rament " nous simplifions le calcul, en évitant grands nombres et notations scientifique. Nous commençons par la 3ème loi de Kepler pour orbites circulaires, avec une distance r en AU et une période orbitale T en années. Comme calculé dans la section précédente (et également dans la section 10), dans ces unités :

    T2 = r3

        Pour Mars, r = 1.523691, T2 = (1.523691)3 = 3.53745

    T = 1.8808 ans

    Suivons la valeur classique : 1.8822 ( parce que ici il y a eu quelques approximations). Si il y a 365.25 jours par année (julienne) :

    T = 1.8822 ans = 687.473 jours

        Pendant ce temps le vaisseau spatial parcourt :

    2 p r = (6.2832) (1.523691) (150,000,000) km

                    = (1436.05) (1,000,000) km

        En divisant par T, on obtient :

    (1436.05 / 687.473) (1,000,000) = (2.08888) (1,000,000)

                           = 2,088 880 km/jour

    Dans un jour, il y a (24)(3600) = 86400 secondes et donc la distance orbitale parcourue chaque seconde est

    2,088,880 / 86400 = 24.192 km

        Cette distance par seconde étant naturellement la définition de la vitesse. Par conséquent

       

    V3 = 24.177 km/s

    A rapprocher de :
    V2 = 21.632 km/s

    Nous constatons que Mars se déplace plus rapidement, et rattrape le vaisseau spatial. Pour coordonner sa vitesse avec celle de Mars, le vaisseau spatial doit produire une poussée supplémentaire de 2.545 km/s.


    Prochaine étape: #21d. Vol vers Mars : le voyage de retour

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          Auteur et responsable :   Dr. David P. Stern
         Mail au Dr.Stern:   stargaze("at" symbol)phy6.org

    Traduction française: Guy Batteur guybatteur(arobase )wanadoo.fr


    Dernière mise à jour : 1.12.2003