(5b) Il bastone di Giacobbe

(Nota: questa sezione richiede una certa familiarità con la funzione trigonometrica "tangente". Ved. "La tangente" nella parte relativa al ripasso di matematica.)

    L'immagine a sinistra rappresenta l'astronomo Claudio Tolomeo, che visse attorno al 150 d.C. Si tratta di una immagine antica, però non tanto antica perché l'artista possa aver conosciuto le reali fattezze di Tolomeo. Ma che cosa tiene in mano questo personaggio?

    No, non si tratta di un simbolo religioso -- le proporzioni non sono quelle giuste, e poi che cosa c'entrano quelle tacche lungo l'asta principale? In realtà si tratta di un'asta a croce (detta bastone di "Giacobbe"), uno strumento molto usato da astronomi e naviganti prima dell'invenzione del telescopio, e anche un po' di tempo dopo. Questo strumento consiste di un'asta principale con un braccio trasversale, attaccato nel suo punto mediano all'asta e che può scorrere su e giù lungo l'asta stessa.

    Sembra che questo dispositivo sia stato inventato dal Rabbino Levi ben Gershon (1288-1344), uno studioso ebreo che visse in Provenza, nel sud della Francia, chiamato anche "Gersonide". Lo strumento è descritto nel suo libro scritto in ebraico "Il Libro delle Guerre dei Signori", tradotto anche in latino. Il nome è preso da un antico libro, la cui unica traccia rimasta si trova in un riferimento della Bibbia, nel Libro dei Numeri, cap. 21, versetto 14. Claudio Tolomeo visse più di 1000 anni prima del tempo a cui risale l'illustrazione, per cui va considerata una certa licenza artistica.

    Gli astronomi usavano questo strumento per misurare l'angolo tra le direzioni di due stelle. Esistevano anche strumenti simili, più antichi, per questo scopo, usati da studiosi come Ipparco e Tolomeo, ma nessuno di essi era portatile, per cui invece il bastone di Giacobbe era soprattutto appropriato per la navigazione in mare. Gli ufficiali di marina lo usavano per misurare l'angolo di elevazione del Sole a mezzogiorno, che permetteva di valutare la loro latitudine (ved. il capitolo sulla navigazione). L'inconveniente di restare abbagliati dal Sole portò all'invenzione del quadrante di Davis (rappresentato nella figura in basso a sinistra), in cui l'osservazione veniva fatta rivolgendo le spalle al Sole, senza quindi doverlo guardare direttamente con l'occhio. Probabilmente fu usato anche da Cristoforo Colombo. Il nome "quadrante di Davis" è dovuto al Capitano John Davis, che nel 1594 perfezionò lo strumento portandolo alla sua forma definitiva. Questa forma è forse quella usata a bordo del "Mayflower".

    Per misurare l'angolo tra due stelle, l'astronomo posiziona il bastone appena al di sotto di un occhio (ved. disegno in alto) e fa scorrere il braccio mobile su e giù. Il braccio trasversale deve avere una coppia di mirini perpendicolari al piano del disegno in posizione simmetrica, come B e B' (spesso varie coppie di mirini, alcuni distanziati maggiormente di altri). L'astronomo fa scorrere il braccio trasversale, finché il mirino B punta una stella e il mirino B' l'altra stella. Per un uso notturno, i mirini erano a forma di fenditure (ved. più avanti).

    Dopo aver fatto questo puntamento, lo strumento veniva abbassato e veniva misurata la distanza AC. Allora, se A era l'angolo tra l'asta principale e la direzione della stella, dalla definizione di tangente si ha:

    La distanza BC tra il mirino e l'asta era nota all'astronomo--per cui, usando una tavola delle tangenti, si poteva ricavare l'angolo A. Poiché lo strumento era simmetrico, l'angolo tra le direzioni delle due stelle era 2A.

I materiali:

• Un'asta graduata
• Un righello di legno lungo un piede
• Un pezzo di legno da usare come braccio trasversale,
          circa delle stesse dimensioni del righello
          (va bene anche un secondo righello).
• Una cartella da ufficio, di cartoncino marrone, che dovrà essere tagliata.
• (Facoltativo) Una scatola di cartone vuota (del tipo di quelle
          per cereali, cibi surgelati, ecc.), con un lato lucido.
          Se non fosse disponibile, si può anche usare
          un pezzo della cartellina.
• 4-6 elastici
• Una pinzatrice
• Due fermagli da carta, e un po' di carta.

(1)     Usando il cartone e un elastico, va costruita una sorta di "slitta", cioè un cursore, che deve scorrere sull'asta principale. Si procede in questo modo. Tagliare da un lato della scatola una striscia di cartone larga 2 pollici e lunga 5 pollici e arrotolarla attorno all'asta, con la parte lucida rivolta verso l'interno; il risultato, visto in sezione, dovrebbe essere come quello in Figura (1a). Se si usa, invece del cartone della scatola, il cartoncino sottile della cartella, è consigliabile fare la striscia più lunga di un ulteriore pollice e arrotolarla più volte come nella Figura (1b), per farla aderire più strettamente al legno dell'asta.
      Spostando questo cursore verso l'estremità dell'asta, farci passare sopra tre giri di elastico--più giri se l'elastico fosse più lungo. L'elastico non deve toccare il legno, altrimenti il cursore non potrà scorrere facilmente. L'elastico deve essere messo piuttosto stretto, in modo che il cursore possa scorrere bene, ma in modo che l'elastico non si muova, una volta messo in posizione.
      Infine avvolgere due giri di elastico per formare una "X", come è mostrato in Figura (2).

(2)       Sollevando delicatamente l'elastico, far passare il braccio trasversale sotto la "X", come mostrato in Figura (3). Il punto d'incrocio della X deve essere circa al centro del braccio trasversale, il quale dovrebbe essere perpendicolare all'asta graduata principale. (Non è tuttavia necessaria una eccessiva accuratezza nell'effettuare questo posizionamento).

(3)       Costruire altri due cursori e posizionarli sul braccio trasversale--uno alla destra e uno alla sinistra dell'asta principale. Questi altri due cursori devono essere un po' più stretti, larghi solo 1,25 pollici, e anche qui gli elastici per fissarli devono essere messi a "X".

(4)       Dal cartone della scatola, tagliate due strisce larghe 5/8 di pollice e lunghe 4 pollici (si potranno poi sempre accorciare, se necessario). Se usate il cartoncino leggero della cartella, fate le strisce larghe 1 pollice e 1/4 e poi piegatele per avere uno spessore doppio.
      Fate passare ciascuna striscia attraverso la "X" dell'elastico in direzione perpendicolare al braccio trasversale, in modo che il punto mediano della striscia sia sotto l'incrocio della "X", e quindi piegatela come mostrato nella Figura (4), in modo che possa sorreggere uno dei due cartoncini che saranno costruiti nel prossimo passo.

(5)       Dalla cartellina ritagliate due cartoncini rettangolari di 5 pollici di larghezza e 2,5 pollici di altezza. In ciascun cartoncino tagliate due fenditure a circa 1,25 pollici dai bordi, ciascuna larga 1/8 di pollice (o 1/4 di pollice, per misure più grossolane) e profonda 1,75 pollici, come indicato nella Figura (5).
      Inserite ciascun cartoncino tra una coppia di supporti, come mostrato in Figura (5), facendo attenzione che le fenditure siano perpendicolari al braccio trasversale, come in figura. Quando è tutto bene allineato, usate la pinzatrice per fissare il cartoncino ai suoi supporti (la piccola linea diagonale in Fig. 5 è la graffetta). Se i supporti sono troppo lunghi, si possono accorciare, tagliandone un poco le estremità--la loro lunghezza non influisce comunque sul funzionamento.
   
Il vostro strumento dovrebbe ora somigliare a quello della figura riportata all'inizio.



(6)       Usate sempre o la coppia interna o la coppia esterna delle fenditure.
        Ignorate le fenditure che non usate.

      Per usare il bastone di Giacobbe, occorre iniziare facendo scorrere il braccio trasversale fino a circa la metà dell'asta principale. Puntare poi l'asta lungo una direzione che si trovi circa a mezza strada tra le stelle di cui si vuole misurare la separazione, quindi posizionare i due cursori del braccio trasversale in modo che le fenditure si trovino approssimativamente dove stanno le due stelle. Infine, fare scorrere il cursore dell'asta principale fino a che entrambe le stelle "lampeggino" simultaneamente in entrambe le fenditure.

      Se questo sembra un po' difficile, si può provare con fenditure più larghe, diciamo 1/4 di pollice. Come tutte le misure astronomiche, queste misure vengono meglio se il cielo è scuro, e i vostri occhi sono adattati all'oscurità. Se il cielo è rischiarato dalle luci della città o dalla Luna, le uniche misure che si potranno fare saranno quelle sulle stelle più luminose.

      Quando siete convinti di aver fatto corrispondere entrambe le stelle alle fenditure, posate giù il bastone di Giacobbe e misurate la distanza B'B usando le graduazioni sull'asta.

      Nella figura all'inizio di questa pagina Web, l'asta è puntata esattamente a metà strada tra le due stelle (CB = CB'), ma non occorre preoccuparsi se le due distanze non sono uguali. Basta misurare la distanza BB' e assumere che l'asta sia esattamente al centro.

      Se le due stelle sono molto vicine tra loro, occorre usare la coppia di fenditure più interna e/o fare scorrere il braccio trasversale lungo l'asta principale più lontano dall'occhio. Se viceversa le stelle sono molto lontane tra loro, si può usare la coppia di fenditure più esterna e magari portare il braccio trasversale più vicino all'occhio. Naturalmente, occorre usare un occhio alla volta, tenendo chiuso l'altro.

      Per il resto, basta solo valutare l'inverso della tangente trigonometrica.