(Q-7)   La meccanica ondulatoria

    Un nuovo e fruttuoso approccio alla meccanica quantistica iniziò negli anni 1925-27 e portò a una completa revisione della nostra nozione di "particella". No, l'atomo era completamente diverso da un sistema planetario in miniatura -- il "modello planetario" era tutt'al più una comoda analogia visuale. I primi segni vennero dal lavoro di Louis De Broglie in Francia e di Werner Heisenberg in Germania, ma la struttura fondamentale del modello è dovuta principalmente all'austriaco Erwin Schrödinger, con importanti contributi di Paul A.M. Dirac (Inghilterra), Max Born (Germania), Wolfgang Pauli (Svizzera), Niels Bohr, Heisenberg e molti altri.

La fondamentale relazione di Einstein

sembrava che implicasse una natura duale della radiazione elettromagnetica. Fintanto che la radiazione era "in transito" essa si comportava come un'onda -- veniva riflessa, focalizzata e riconfigurata in modo simile. Come un'onda, essa riempiva tutto lo spazio, benché la probabilità che essa si "materializzasse" da qualche parte variava molto con l'ubicazione -- cioè, con una probabilità molto più alta in una zona illuminata rispetto a una zona in ombra.

    Tuttavia, nel momento che l'onda si rivelava depositando la sua energia, essa diventava nettamente localizzata, anche localizzandosi su un singolo atomo, e la quantità di energia trasmessa, il fotone, era fissata dalla frequenza dell'onda, secondo la relazione di Einstein. Fino al 1925, le particelle materiali -- elettroni, protoni, atomi e molecole -- sembravano molto diverse. Esse erano sempre localizzate, esistendo intorno a un punto definito dello spazio.

    La frustrante ricerca di una teoria del comportamento atomico condusse all'idea che forse anche le particelle dotate di massa si comportavano in qualche modo come i fotoni. Cioè, esse acquistavano una esistenza localizzata (per così dire) quando qualche evento faceva sì che esse scambiassero energia con il mondo circostante, un processo che rivelava la loro presenza. Fino a quel momento non vi era modo di assegnare una posizione definita alla particella -- tutto quello che si poteva fare era al massimo di assegnare una probabilità più alta di trovarla in una certa regione.

    I calcoli basati su questa idea portarono in effetti a una teoria compatibile con i dati sperimentali. Essi suggerirono che l'elettrone in un atomo di idrogeno doveva essere correttamente visto, non come una particella puntiforme in un'orbita kepleriana -- che era, tutt'al più, una analogia per aiutare la nostra intuizione -- ma piuttosto come un'onda legata all'atomo, confinata nelle sue vicinanze, proprio come un'onda sonora all'interno di un flauto è confinata dentro una colonna finita di aria oscillante. Un flauto (o una corda accordata) suona certe note e non altre, poiché quelle frequenze (e non altre) possono risuonare con quella struttura e lì accumularsi. Similmente, l'onda che rappresenta un elettrone in un atomo di idrogeno può oscillare stabilmente in certi modi e non in altri, e risultò che il calcolo di tali modi forniva gli stessi livelli energetici dell'atomo di Bohr. A differenza dell'atomo di Bohr-Sommerfeld, però, questi calcoli potevano essere estesi a sistemi più complessi e ad altri fenomeni, come per esempio, la diffusione di elettroni o di atomi a seguito di collisioni. In ciascuno di tali processi, fino a che l'elettrone non subisce effettivamente una transizione, non c'è modo di sapere "dove si trova" e qual'è la sua energia.

    Era questa l'idea base di quella che fu chiamata "meccanica ondulatoria", intendendo con questa espressione non la meccanica delle onde, ma una riformulazione, in termini di onde, di quella branca della fisica nota come meccanica, che si occupa del moto degli oggetti materiali. La meccanica newtoniana tratta la materia strettamente come particelle localizzate, oppure come corpi e fluidi costituiti da tali particelle. La meccanica ondulatoria asserisce che, quando si va su scala atomica, le particelle talvolta devono essere trattate come onde estese su tutto lo spazio, e che la loro posizione e la loro quantità di moto non sono noti fino a che non avviene una interazione. Anche così, come mostrò Heisenberg con il suo principio di indeterminazione, non si possono mai ottenere informazioni complete.

Onde e particelle

    Il concetto di onda elettromagnetica si sviluppò in varie fasi. Dapprima vennero le misure delle forze elettriche e magnetiche (ved. per esempio la sezione 5 "Un millennio di geomagnetismo") che portò al concetto di campi elettrici e magnetici costanti. Un campo magnetico, in origine, era pensato come una regione di spazio in cui si poteva rivelare una forza magnetica, se vi si poneva un magnetino, e un campo elettrico era pensato come una regione di spazio in cui una carica elettrica poteva rivelare una forza elettrica locale. Ma in assenza di questi tipi di sonde, non vi era, in linea di principio, alcuna indicazione che un tale campo esistesse -- tutto quello che si poteva vedere era uno spazio vuoto. In questa fase, non sembrava che ci fosse alcun motivo valido per ritenere che lo spazio fosse in qualche modo modificato, anche se Michael Faraday era convinto che lo fosse.

                    (1) La luce considerata come un'onda

    Maxwell effettuò il passo successivo mostrando che i campi elettrici e magnetici oscillanti, interconnessi tra loro, si propagavano come un'onda, e potevano spiegare le proprietà della luce visibile e delle altre radiazioni. La "propagazione come un'onda" implica una certa rappresentazione matematica dell'oscillazione e (in generale) della diffusione dei campi elettrici e magnetici. Altre onde, presenti in natura, sono in genere delle perturbazioni che si propagano in un certo mezzo -- per esempio, il suono nell'aria è una perturbazione della pressione ambientale. Anche le onde sismiche, all'interno della Terra, si propagano come le onde sonore, ma esiste in questo caso anche un altro modo separato di "onde trasversali", dove il materiale si scuote lateralmente, perpendicolarmente alla direzione di propagazione, come la vibrazione di un budino in un recipiente.

    Anche le onde elettromagnetiche di Maxwell erano "modi trasversali", in cui le forze elettriche e magnetiche erano perpendicolari alla direzione di propagazione. Ma una propagazione di onde attraverso che cosa? Qual'era il mezzo attraverso cui si propagavano? Per un po' di tempo, i fisici credettero che esistesse un "etere" invisibile diffuso dovunque, e che le onde elettromagnetiche fossero delle onde in quell'etere, il quale tremolava come un budino.

    Ma le proprietà di questo "etere" sembravano strane. Il suono che si propaga nell'aria viene registrato in modo diverso a seconda che l'osservatore si avvicini alla sorgente oppure che se ne allontani ("effetto Doppler"), e così avviene per la luce (ed è questo il meccanismo che ci permette di sapere se una galassia si sta allontanando). Tuttavia, se prendiamo un raggio di luce in laboratorio e lo suddividiamo in due componenti ("esperimento di Michelson-Morley"), uno parallelo al moto della Terra attorno al Sole (a una velocità pari a 1/10000 di quella della luce) e un altro perpendicolare, non si misura alcuna differenza. Se l'universo fosse riempito di "etere", attraverso cui si propaga la luce, si dovrebbe rivelare il moto della Terra rispetto ad esso, e invece ciò non accade. Pertanto ora noi consideriamo questi campi come proprietà dello spazio, e a questi campi non si può attribuire alcun movimento, e le onde elettromagnetiche si propagano "nello spazio".

                    (2) La luce considerata come un flusso di particelle

    La luce può anche essere assimilata a un flusso di particelle, con due livelli completamente diversi. Nelle lezioni di ottica elementare si parla spesso di raggi di luce, che percorrono linee rette come proiettili. Questo era anche il modo con cui nelle prime ricerche si considerava la luce. Gli studi successivi dimostrarono che su scala piccolissima, dell'ordine di grandezza della lunghezza d'onda della luce, la luce stessa mostrava una natura ondulatoria, per esempio, nelle righe chiare e scure che si osservano sul bordo di una sottile fenditura (o sul bordo dei nostri occhi quando li teniamo socchiusi). La matematica del moto ondulatorio ha mostrato che i raggi e le onde non sono concetti contraddittori: il comportamento della luce può essere descritto dai raggi, se la scala dell'oggetto osservato è molto più grande della lunghezza d'onda.

    Ma su scala atomica la luce di nuovo si comporta come un flusso di particelle. La relazione di Einstein

ha mostrato che quando la luce di frequenza ν cede o riceve energia, lo fa in porzioni di entità definita, in "fotoni" che possono essere anche considerati come particelle, poiché la loro azione è localizzata. Come una particella materiale, il fotone ha anche una quantità di moto, ed è proprio la quantità di moto di questi fotoni che rende possibili le vele solari. Ma a differenza dell'aspetto particellare del moto dei raggi, qui le "particelle di luce" sono legate a una precisa costante di natura, la costante di Planck h.

    Mentre la luce è in transito ed è un'onda, la sua intensità in ogni punto ci fornisce la probabilità che un fotone venga rivelato in quel punto. Questa analogia fu usata anche da Schrödinger quando propose di rappresentare la materia solida mediante un'onda. L'onda stessa soddisfa "l'equazione di Schrödinger", un'equazione d'onda, e il valore della variabile dell'onda -- in genere rappresentata con la lettera greca ψ (psi) -- dà la probabilità della particella di essere osservata in quel punto (In realtà la probabilità è data dal quadrato di ψ, ma questo è simile al caso di un'onda elettromagnetica, in cui il quadrato della sua ampiezza determina la densità di energia).

    Questa rappresentazione è valida anche per oggetti più grandi, ma poiché la lunghezza d'onda è molto piccola, il loro comportamento può essere rappresentato dal moto di un raggio, consentendo (con ottima approssimazione) di rappresentare il moto con una linea retta e di soddisfare le equazioni di Newton.

Orbitali

    Al contrario, le funzioni d'onda sono tridimensionali, estese su tutto lo spazio. Comunque i loro modi fondamentali possono essere classificati alla stessa maniera e -- cosa molto interessante -- la struttura dei modi risulta simile a quella basata sul moto kepleriano, anche se i concetti su cui si fondano i due modelli sono molto diversi. (Gli strumenti matematici sono un po' simili a quelli impiegati da Gauss per ricavare i modi principali del campo magnetico terrestre -- strumenti, a loro volta, tratti da quelli per calcolare i modi del campo gravitazionale della Terra). Oggigiorno i modi fondamentali delle funzioni d'onda atomiche (o molecolari) sono noti come orbitali, strutture di regioni in cui è concentrata la funzione d'onda. Gli orbitali più bassi sono simmetrici e sferici, ma quelli più complessi hanno dei lobi multipli, un po' come la struttura tridimensionale del trifoglio, con vari numeri di lobi.

    La classificazione fondamentale è ancora basata sull'energia -- livelli n=1, poi livelli n=2, ecc. Inoltre, i livelli di asimmetria sono denotati dai valori (0,1,2,3,...) di L (in lettera minuscola), che rappresenta il momento angolare, legato alla asimmetria, oppure, tradizionalmente, dalle lettere (s,p,d,f,...), come è mostrato nello schema dei livelli energetici della sezione precedente. Il modo "s" è simmetrico, "p" ha una simmetria a due lobi, quindi seguono "d" e poi "f", ecc. Esiste un terzo numero m, e una descrizione visuale dei picchi dei modi si può trovare qui. Naturalmente, queste sono soltanto le superfici in cui la funzione d'onda è più grande, ma essa poi diminuisce progressivamente verso il resto dello spazio.

    Gli orbitali sono importanti non solo quando un atomo salta da un livello più alto verso un livello più basso (se non è occupato), ma anche in un atomo nel suo livello più basso ("stato fondamentale") risulta che gli elettroni devono occupare orbitali differenti (eccetto per gli elettroni con spin opposto che si possono accoppiare). Questa idea ha portato a spiegare la tavola periodica degli elementi chimici. Si possono anche ricavare gli orbitali per le molecole, che hanno uno spettro più complesso, in genere nell'infrarosso.

Ulteriori sviluppi

    Quanto esposto precedentemente costituisce soltanto il fondamento, una esplorazione preliminare di un nuovo terreno sconosciuto. Per maggiori dettagli e applicazioni occorre studiare la teoria quantistica in modo sistematico -- con tutta la sua matematica, le manipolazioni del momento angolare e dello spin, e magari anche la teoria della dispersione, la teoria di Dirac dell'elettrone, l'elettrodinamica quantistica, e altro ancora.

    Con l'uso degli strumenti matematici si è arrivati a una comprensione piuttosto buona degli spettri atomici, comprese le loro variazioni di intensità, anche se per ricavare i livelli energetici di atomi complicati occorrono lunghe e noiose approssimazioni. (Avviene la stessa cosa per la meccanica celeste -- calcolare la traiettoria di un singolo pianeta intorno al Sole è semplice, ma ricavare le traiettorie di oggetti multipli che interagiscono tra loro è difficoltoso). La teoria quantistica porta anche alla comprensione degli spettri molecolari, dei legami chimici, della tavola periodica degli elementi (ved. sopra), del comportamento degli atomi posizionati nei cristalli (inclusi i semiconduttori, usati con profitto negli elaboratori elettronici), della "superconduttività" elettrica nei materiali a bassissima temperatura, degli effetti magnetici su cui sono basati sia gli strumenti di diagnostica medica (risonanza magnetica), sia la moderna magnetometria, i laser e molto altro.