(21a) L'applicazione della terza legge di Keplero

Per un'orbita circolare intorno alla Terra, abbiamo trovato

T² = (4π²/g R_t²) r³

con T in secondi e r in metri. La distanza di un satellite dal centro della Terra, espressa in metri, è un numero troppo grande e poco maneggevole, anche prima di elevarlo alla terza potenza. Moltiplichiamo allora l'espressione a secondo membro per (R_t³/R_t³) = 1 e riaggiustiamo i termini:

T² = (4π²/g R_t²) (R_t³/R_t³) r³ = (4π²R_t/g) (r/R_t)³

Il rapporto r' = (r/R_t) è la distanza orbitale espressa in unità di raggi terrestri. Questo numero è in genere compreso tra 1 (al livello della superficie terrestre, r = R_t) e 60 (alla distanza dell'orbita lunare, r ~ 60 R_t).

Inoltre, questo rapporto è sempre lo stesso, sia che r e R_t siano espressi in metri, in iarde o in miglia marine, purché sia r che R_t siano espresse nelle stesse unità. L'altro termine verrà ora calcolato qui di seguito (gli spazi tra le parentesi indicano una moltiplicazione; potete anche verificare i passaggi con una calcolatrice).

(4π²R_t/g) = (4) (9,87) (6 371 000)/9,81 = 25 638 838

Indicando con √ il segno di radice quadrata

√(25 638 838) = 5063,5 Da cui

Questa è la pratica forma della 3ª legge di Keplero per i satelliti della Terra. Un ipotetico satellite che volasse radente alla superficie terrestre (r' = 1) avrebbe un periodo

T = 5063,5 sec = (5063,5/60) minuti = 84,4 minuti

La Navetta Spaziale deve uscire dall'atmosfera e andare un po' più in alto. Diciamo che la sua orbita si trova a una distanza r' = 1,05 con √(r') = 1,0247. Pertanto

T = (5063,5) (1,05) (1,0247) = 5448 secondi = 90,8 minuti

I satelliti internazionali per le comunicazioni orbitano nel piano equatoriale terrestre e hanno un periodo orbitale di 24 ore. Mentre la Terra ruota, essi le corrono dietro e perciò stanno sempre nello stesso punto del cielo. Qual'è la loro distanza?

In questo caso T è noto e dobbiamo solo trovare r':

T = 24 ore = 86 400 sec = 5063,5 √(r')³

√(r')³ = 86 400/5063,5 = 17,0632

Se tutti i numeri su questa riga sono uguali, saranno uguali anche i loro quadrati, per cui

(r')³ = (17,0632)² = 291,156

Ora occorre una calcolatrice per ricavare la radice cubica (oppure, che è la stessa cosa, la potenza 1/3 = 0,333...). Si ottiene

r' = 6,628 raggi terrestri

per la distanza dei satelliti "geostazionari". I satelliti per il "Global Positioning System" (GPS), per mezzo dei quali, con piccolo strumento che sta nel palmo di una mano, si può conoscere la propria posizione sulla superficie del globo terrestre con sorprendente accuratezza, hanno orbite con un periodo di 12 ore. Volete provare a calcolare la loro distanza?