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(10) Keplero e le sue leggi

Tycho Brahe (1546-1601)

    Tycho era un nobile danese interessato di astronomia. Nel 1572 apparve nel cielo una "nuova stella" (in linguaggio moderno una "nova"), non molto lontana dalla Polare, più luminosa di tutte le altre. Tycho misurò accuratamente la sua posizione, quindi la misurò di nuovo dopo 12 ore, quando la rotazione terrestre aveva spostato il punto di osservazione sull'altro lato della Terra. Era già noto che un tale spostamento faceva variare la posizione della Luna nel cielo, e aveva aiutato gli astronomi a valutare la sua distanza. Però la posizione della "nuova stella" non era variata, suggerendo quindi che si trattava di un oggetto molto più distante della Luna (si può fare clic qui per il resto della storia).

 Ritratto di Tycho Brahe.

    Il giovane Tycho fu così impressionato da questo evento che decise di dedicare la sua vita all'astronomia. Il Re di Danimarca lo incoraggiò e gli donò l'isola di Hven per costruirci un osservatorio, e le tasse riscosse sull'isola servirono a finanziare questa struttura. Il telescopio non era stato ancora inventato, e tutte le misure venivano compiute ad occhio, con l'aiuto di mire ottiche (simili ai mirini dei fucili) che potevano scorrere lungo dei cerchi graduati. Tycho portò tali metodi al massimo delle loro possibilità, cioè alla risoluzione dell'occhio umano, e le sue mappe stellari erano molto più accurate di qualunque altra mappa realizzata fino allora. Egli misurò, e ne tenne conto, perfino i piccolissimi spostamenti della posizione delle stelle vicino all'orizzonte, dovuti alla rifrazione della luce nell'atmosfera terrestre, simile a quella che avviene nel vetro o nell'acqua. Le sue osservazioni dei pianeti divennero la prova più schiacciante della teoria copernicana, contro quella tolemaica.

    Per quanto riguarda quelle teorie, Tycho credeva che tutti i pianeti ruotassero attorno al Sole, ma che il Sole ruotasse attorno alla Terra. Questa visione era in accordo con quella della Chiesa Protestante danese, poiché Martin Lutero, iniziatore della Riforma Protestante, aveva rifiutato la teoria di Copernico (che era suo contemporaneo). Tuttavia l'atteggiamento di Tycho era arrogante, e i residenti di Hven si lagnarono, così che dopo la morte del Re, che era stato il suo protettore, Tycho fu costretto a lasciare la Danimarca.

 Giovanni
 Keplero

    Nel 1599 si stabilì a Praga -- ora capitale della Repubblica Ceca, allora era la sede della corte dell'Imperatore tedesco Rodolfo -- e lì divenne astronomo di corte. E fu proprio a Praga dove un astronomo tedesco, di nome Giovanni Keplero, fu assunto da Tycho per svolgere i suoi calcoli. Quando nel 1601 Tycho morì improvvisamente, fu Keplero a continuare il suo lavoro.

(Altre notizie e collegamenti riguardanti Tycho.)

Giovanni Keplero (1571-1630)

Keplero aveva studiato astronomia molto prima di incontrare Tycho: era a favore della teoria copernicana ed era in corrispondenza epistolare con Galileo.

    Le osservazioni di Tycho comprendevano anche alcune misure molto accurate della posizione del pianeta Marte, e tali misure non andavano d'accordo né con la teoria di Tolomeo, né con quella di Copernico. Quando Tycho morì, Keplero si mise a studiare quelle osservazioni e cercò di interpretarle. Nel 1609, lo stesso magico anno in cui Galileo per primo puntò il telescopio verso il cielo, Keplero ebbe l'intuizione di quella che poteva essere la risposta al problema, e pubblicò le sue prime due leggi sui moti planetari:

  1. I pianeti si muovono lungo ellissi di cui il Sole occupa uno dei fuochi.
  2. La linea che va dal Sole al pianeta
        ricopre aree uguali in tempi uguali.

Ciascuno di questi enunciati richiede qualche spiegazione.

Ellissi!

L'ellisse, la forma di un cerchio un po' schiacciato, era ben nota agli antichi Greci. Essa appartiene alla famiglia delle "sezioni coniche", cioè di quelle curve generate dall'intersezione di un piano con un cono.

 Le curve generate come
 "sezioni coniche" quando
 dei piani intersecano un cono.

Come è mostrato nel disegno a destra, quando il piano è...

-- perpendicolare all'asse del cono, il risultato è un cerchio.

-- moderatamente inclinato, un'ellisse.

-- talmente inclinato da essere parallelo a un lato del cono, una parabola.

-- ancora più inclinato, un'iperbole.

    Si possono produrre facilmente tutte queste intersezioni con una torcia elettrica in una stanza sufficientemente buia (ved. il disegno in basso). La torcia elettrica genera un cono di luce e quando questo cono colpisce una parete, la forma prodotta è una sezione conica -- l'intersezione del cono di luce con la parete piana.

    L'asse della torcia è anche l'asse del cono di luce. Puntando il fascio perpendicolarmente alla parete, si ottiene un cerchio di luce. Inclinando un po' il fascio, un'ellisse. Inclinandolo di più, fino a quando il punto di chiusura dell'ellisse diventa molto, molto lontano, si ottiene una parabola. Inclinandolo ancora di più, in modo che i due bordi della chiazza di luce non solo non si incontrino più, ma sembrino dirigersi verso direzioni completamente diverse, si ottiene un'iperbole.

La terza legge

    Dopo la morte di Tycho, Keplero divenne astronomo di corte, benché il superstizioso imperatore fosse più interessato all'astrologia che alla struttura del Sistema Solare. Nel 1619 Keplero pubblicò la sua terza legge: il quadrato del periodo orbitale T è proporzionale al cubo della distanza media a dal Sole (pari alla semisomma della distanza minima e della distanza massima). Espressa in formula

T2= k a3

dove k è un certo valore costante, uguale per tutti i pianeti. Supponiamo di misurare i periodi orbitali in anni e tutte le distanze in "unità astronomiche" o UA, dove 1 UA è la distanza media tra la Terra e il Sole. Allora, se a = 1 AU, T è un anno, k con queste unità è ancora uguale a 1, e quindi T2= a3. Applicando ora la formula a ogni altro pianeta, se T è noto dalle osservazioni fatte durante molti anni, si può rapidamente ricavare la distanza media a del pianeta dal Sole.

    Trovare il valore di 1 UA in miglia o in chilometri, cioè trovare la scala effettiva del Sistema Solare, non è cosa facile. Questo argomento è discusso nella prossima sezione. I migliori valori ottenuti oggi sono quelli forniti dalle tecniche dell'era spaziale, dalle rilevazioni radar di Venere e dalle sonde planetarie. Con buona approssimazione, 1 UA = 150·000·000 km.

3ª legge di Keplero
T in anni, a in unità astronomiche; quindi T2 = a3
Le discrepanze dipendono dalla scarsa precisione
Pianeta Periodo T Dist. a dal Sole T2 a3
Mercurio 0,241 0,387 0,05808 0,05796
Venere 0,616 0,723 0,37946 0,37793
Terra 1 1 1 1
Marte 1,88 1,524 3,5344 3,5396
Giove 11,9 5,203 141,61 140,85
Saturno 29,5 9,539 870,25 867,98
Urano 84,0 19,191 7056 7068
Nettuno 165,0 30,071 27225 27192
Plutone 248,0 39,457 61504 61429

    Non solo le leggi di Keplero furono confermate e spiegate da scienziati successivi, ma esse valgono per ogni sistema orbitale di due corpi, anche per i satelliti artificiali in orbita attorno alla Terra. La costante k' per i satelliti artificiali è diversa da quella k ottenuta per i pianeti (però è la stessa per tutti i satelliti artificiali della Terra). Dalla formula di Keplero

T = √(k' a3)

Se T è misurato in secondi e a in raggi terrestri (1 RT = 6371 km = 3960 miglia)

T = 5063 √(a3)

Alle prime due leggi di Keplero sono dedicate anche le prossime due sezioni.

    I successivi anni della vita di Keplero non furono troppo sereni. Il suo protettore, l'Imperatore Rodolfo, morì nel 1612, e anche se Keplero mantenne il suo incarico di matematico di corte e continuò a produrre importanti lavori, la sua vita fu sempre più rovinata dalla guerra. Si trattava della Guerra dei Trent'anni, un'aspra contesa religiosa che oppose Protestanti e Cattolici. La guerra iniziò a Praga nel 1618 e coinvolse tutta la regione dell'Europa di Keplero.

Postscriptum: I resti della supernova di Keplero sono tuttora visibili. Nell'agosto del 1999, tali resti furono uno dei primi oggetti ad essere esaminati dal rivelatore di raggi X del telescopio orbitante della NASA "Chandra", e fu ottenuta l'immagine qui a fianco: la piccola macchia luminosa al centro della nube è probabilmente la stella residua (ved. anche qui). Si può confrontare questa immagine con quella (in luce visibile) dei resti di una supernova più antica. Per saperne di più sull'osservatorio "Chandra", si può visitare il relativo sito Web (facendo clic qui si ritorna all'inizio della pagina).


Domande poste dagli utenti:   Che cosa succede se la Terra si ferma nella sua orbita?
  ***      Che fare per lo spostamento apparente delle stelle dovuto all'atmosfera?

Ulteriori approfondimenti

    Per un sito su Tycho Brahe, con illustrazioni, si può fare clic qui

    Un sito molto dettagliato su Keplero

    Immagine e collegamenti riguardanti Keplero

    Willman-Bell, la casa editrice di testi di astronomia (http://www.willbell.com), vi offre "The Lord of Uraniborg" (Il signore di Uraniborg) di Thoren, una biografia di Brahe, e "Keplero" di Casper. Ved. anche l'ultima parte della sezione precedente, riguardante "The Sleepwalkers" (I sonnambuli) di Koestler.

    Un recente libro, molto piacevole da leggersi, con molti dettagli sugli strumenti e le osservazioni di Tycho è: "Tycho e Keplero" di Kitty Ferguson (Walker & Co, 2002, xiv+402 pp). Ne ho scritto una recensione qui.



Il prossimo argomento: #10a   La scala del Sistema Solare

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Autore e Curatore:   Dr. David P. Stern
     Ci si può rivolgere al Dr. Stern per posta elettronica (in inglese, per favore!):   stargaze("chiocciola")phy6.org

Traduzione in lingua italiana di Giuliano Pinto

Aggiornato al 21 Ottobre 2005