Con l'aiuto delle sezioni (20) e (21), le tecniche matematiche per ottenere soluzioni approssimate descritte in (M-5), e assumendo che tutte le orbite siano circolari, è relativamente facile calcolare la distanza del punto lagrangiano L1 (o di quello L2). Iniziamo ripetendo la derivazione della terza legge di Keplero per le orbite circolari.
e moltiplicando entrambi i membri per r/m
Se T è il periodo orbitale, poiché la distanza percorsa dalla Terra per ogni orbita è 2 πr,
da cui segue la terza legge di Keplero per un'orbita circolare (semplicemente moltiplicando entrambi i membri per r3T2). Consideriamo ora un'astronave di massa mast , posizionata sulla linea che congiunge la Terra con il Sole, a una distanza R dalla Terra e a una distanza (r–R) dal Sole (ved. disegno). La forza F che l'attrae verso il Sole è diminuita dall'attrazione della Terra in direzione opposta, per cui
Supponiamo che anche questa astronave si muova in un'orbita circolare attorno al Sole, con una velocità vast . Allora, se la forza centrifuga controbilancia l'attrazione (o meglio, l'attrazione fornisce la forza centripeta)
In modo simile al calcolo precedente, moltiplichiamo entrambi i membri per (r–R)/mast , ottenendo
Assumiamo che anche l'astronave si muova attorno al Sole in un'orbita circolare di raggio (r–R). (Questo naturalmente richiede che la Terra sia sempre in una posizione tale da esercitare un'attrazione in direzione opposta al Sole, ma torneremo fra breve su questo argomento). Il periodo orbitale Tast del satellite soddisfa quindi, come precedentemente
oppure, dividendo tutto per (r–R)2
Questa espressione rassomiglia alla precedente equazione della "Terza legge", tranne che per il fatto che ora abbiamo aggiunto il termine corrispondente all'attrazione della Terra in direzione opposta. Ma la Terra sarà sempre in una posizione tale da esercitare la sua attrazione sull'astronave in direzione esattamente opposta al Sole? No, a meno che i due periodi orbitali siano identici:
Soltanto in tale caso il moto dell'astronave è sincronizzato con quello della Terra e la distanza tra i due corpi resta costante. Questo in genere avviene soltanto per un valore di R, cioè soltanto per una certa distanza dalla Terra, e tale distanza, R, è proprio il valore incognito che dobbiamo ricavare, la "cosa" che stiamo cercando. Se Tast = T, le due relazioni con 4π2/T2 a secondo membro sono uguali tra loro, fornendo così un'equazione da cui è possibile ricavare R. Questa equazione è
Dividiamo entrambi i membri per GM: allora G sparisce dalla scena, e, al posto delle masse (m, M) di (Terra, Sole) abbiamo solo il loro rapporto, un piccolo numero che chiameremo y
oppure, con notazioni scientifiche (il punto indica moltiplicazione)
L'equazione è ora
Moltiplicando entrambi i membri per r3 In ciascuna delle frazioni, dividiamo numeratore e denominatore per r3 [Questo equivale a moltiplicare la frazione per (1/ r3)/(1/r3). Poiché ogni frazione che ha il numeratore uguale al denominatore è uguale a 1, questo è lo stesso che moltiplicare per 1, e quindi non si ha nessun cambiamento]. Inoltre, introduciamo una nuova variabile z, pari a R/r. Allora
Adesso siamo pronti a ricavare la quantità incognita z. L'equazione precedente è un po' complicata -- in effetti probabilmente non esiste una formula esatta per la sua soluzione. Tuttavia, poiché z è piccolo, è abbastanza facile ottenere una soluzione approssimata, usando i metodi riportati nella sezione (M-5). Viene lì mostrato che
Sostituendo queste approssimazioni nell'equazione principale si ottiene
Tutti e due i membri di questa relazione sono ora ugualmente piccoli. Il secondo membro è stato modificato solo leggermente con l'aggiunta di z: possiamo quindi trascurare questo termine senza che ne derivi una grande differenza. Pertanto
Così la distanza di L1 dalla Terra è di circa un centesimo della distanza del Sole. È ora possibile tornare sui nostri passi per ricavare delle equazioni più accurate, come 3z3 ~ y(1+z), e sostituire z a secondo membro con il suo valore approssimato 0,01, per ricavare quindi un valore più accurato. Questo procedimento di miglioramento progressivo, chiamato iterazione, viene usato anche per l'equazione di Keplero, discussa nella sezione (12a). A causa della piccolezza di z, questi raffinamenti cambieranno molto poco il valore finale. La derivazione della distanza del punto lagrangiano L2 (lato notturno) è molto simile al procedimento mostrato qui. In tale caso le equazioni contengono r+R invece di r–R, e nell'equazione per F i termini vengono addizionati anziché sottratti, poiché ora l'attrazione del Sole e quella della Terra sono dirette nello stesso verso. Provatelo come esercizio!
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