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#21c     Il volo verso Marte: un po' di calcoli

   


        Nella precedente sezione, la rotta verso Marte è stata pianificata lungo una ellisse di trasferimento di Hohmann. È stato ricavato il tempo di volo, pari a circa 8,5 mesi, come pure la posizione di Marte al momento del lancio, circa a 45° dal punto di massimo avvicinamento alla Terra.

        In questa sezione vengono calcolati due dettagli essenziali: la velocità di lancio, necessaria per inserire l'astronave nell'orbita di trasferimento, e la velocità all'arrivo sull'orbita di Marte. L'astronave sorpasserà il pianeta o ne sarà sorpassata, e quale sarà la differenza di velocità tra l'astronave e il pianeta -- una differenza che probabilmente richiederà una ulteriore accensione dei razzi? Continuate a leggere, e se masticate un po' di algebra elementare, troverete la risposta.




Notazioni varie e velocità di fuga

    Prima di iniziare, è opportuno stabilire le notazioni per le quantità che verranno considerate. Anche se alcune di esse sono di tipo vettoriale, ne verranno considerate solo le grandezze. Le notazioni in grassetto vengono usate soltanto per evidenziare meglio alcune quantità, ma non indicano mai il carattere vettoriale.

    Come in precedenza, r1 = 1 UA è la distanza della Terra dal Sole, r2 = 1,523691 UA quella di Marte, e (facendo una certa approssimazione) si assumerà che entrambi i pianeti si muovano su orbite circolari.

    La velocità V sarà misurata in chilometri al secondo (km/s), e le diverse velocità saranno contrassegnate con un indice. Le lettere v minuscole indicheranno le velocità associate alle orbite attorno alla Terra anziché attorno al Sole.

    Nella precedente sezione è stata già introdotta la velocità orbitale V0 della Terra attorno al Sole, pari a circa 30 km/s (più precisamente 29,77 km/s), molto più grande di v0 ~ 8 km/s (appross.) richiesta da un satellite per orbitare attorno alla Terra appena al di sopra della superficie (trascurando l'atmosfera!). Nella sezione 21 era stato notato che la velocità di fuga vf  da una tale orbita bassa si ottiene moltiplicando v0 per la radice quadrata di 2, pari a 1,41421356.... che approssimeremo qui a 1,414. Si ottiene così

   

vf = 1,414 v0 = (1,414)×(8) = 11,312 km/sec

    Un tale veicolo spaziale, tuttavia, non è ancora libero di muoversi verso ogni punto nello spazio. La velocità vf  lo ha liberato dalla gravità terrestre, ma non dall'attrazione del Sole, attorno al quale continuerà a muoversi in un'orbita simile a quella terrestre, a circa V0 = 30 km/s.

    La situazione è ora completamente analoga alla fuga da un'orbita bassa attorno alla Terra (solo che ora il costo è più alto!). Per liberarsi da un'orbita circolare attorno al Sole e lasciare il Sistema Solare, l'astronave deve lanciare i suoi razzi a una "seconda velocità di fuga"

   

Vf = 1,414 V0 = (1,414)×(30) = 42,42 km/s

    Per raggiungere Vf  il razzo deve in qualche modo aumentare la sua velocità di ulteriori 12,42 km/s, più di quanto non sia necessario per sfuggire alla gravità della Terra, partendo da uno stato di quiete sulla sua superficie! Per fortuna, esistono dei modi (discussi nella Sezione 35) di sfruttare il moto dei pianeti (o della Luna) per ottenere, almeno in parte, una tale spinta.

    Altre velocità che entrano nei calcoli sono la velocità V1 con cui l'astronave parte dalle vicinanze della Terra per entrare nell'ellisse di Homann (a una distanza r1 dal Sole), e la velocità V2 con cui raggiunge l'orbita di Marte (a una distanza r2). Inoltre, V3 sarà la velocità di Marte nella sua orbita, assumendo che tale velocità abbia una grandezza costante (cioè assumendo che l'orbita di Marte sia circolare).

   Se V2 > V3, l'astronave sorpasserà Marte, mentre se V2 < V3 ne sarà sorpassata.


Equazioni richieste

    (1) Le leggi di Keplero

  •     La prima legge dice che "I pianeti si muovono lungo ellissi, di cui il Sole occupa uno dei fuochi". Questa è stata già usata, infatti l'ellisse di trasferimento è una di tali orbite.

  •     La seconda legge dice che "La linea che congiunge un pianeta al Sole spazza aree uguali in tempi uguali". Vediamo di estrarre da questa legge una equazione utile.
Applicazione della 2ª legge di Keplero
Applicazione della
2ª legge di Keplero

    Il disegno qui a fianco mostra l'orbita di Marte (linea continua) e l'ellisse di trasferimento (linea tratteggiata), con raggi (r1, r2) nei punti (perigeo, apogeo), a cui la velocità dell'astronave è (V1, V2). I piccoli segmenti disegnati in queste locazioni rappresentano la distanza percorsa dall'astronave durante il secondo successivo al passaggio per il perigeo o all'apogeo, e, per la definizione di velocità ("distanza percorsa durante un secondo"), queste distanze sono anche uguali a V1 e V2. In realtà, questi segmenti dovrebbero essere un po' incurvati come l'orbita, ma, data la loro piccola lunghezza, si può trascurare la differenza rispetto a segmenti di retta. Completiamo quindi i triangoli lunghi e sottili, che hanno come base queste linee.

    Notiamo che ciascuno di questi triangoli ha un angolo retto alla sua base, poiché all'apogeo e al perigeo (ma non in altri punti), la linea che va verso il Sole è perpendicolare all'orbita.

    Al perigeo, l'altezza del triangolo è r1, la lunghezza della sua base è V1, per cui dalla formula dell'area A1 di un triangolo

   

A = (1/2)×(altezza)×(base)

otteniamo
A1 = (1/2) r1 V1

    All'apogeo, l'altezza è r2, la base V2, e l'area è

   

A2 = (1/2) r2 V2

    Ciascuno di questi triangoli viene "spazzato" in un secondo, per cui, dalla 2ª legge di Keplero, le loro aree devono essere uguali. Moltiplicando ambo i membri per 2 si ottiene

   

r1 V1 = r2 V2                     (1)

    Indichiamo con un numero questa equazione, per poterci riferire ad essa in seguito. Va notato che questa relazione vale soltanto al perigeo e all'apogeo. Negli altri punti dell'orbita, l'angolo tra il raggio vettore e l'orbita non è 90°, e anche l'area dipende dal suo esatto valore.

    La terza legge di Keplero era stata già usata per determinare il periodo orbitale. Ne avremo bisogno ancora alla fine.

   
(2) L'equazione dell'energia

    Nella sezione (12) si è detto che l'energia E di un satellite di massa m in orbita attorno alla Terra, in ogni punto della sua orbita, è

E = (1/2) mV2   –   k m / r                     (2)

dove r è la distanza del punto dal centro della Terra, V è la velocità del satellite in quel punto, e k è una certa costante, legata all'accelerazione di gravità g. Poiché l'energia E si conserva, l'espressione a secondo membro ha lo stesso valore in qualunque punto dell'orbita. Una relazione simile vale per le orbite attorno al Sole, benché il valore di k sia differente. Possiamo esprimere k in questo caso usando un piccolo trucco, basato sulla velocità di fuga.

    Come si è notato prima, perché un oggetto in orbita attorno alla Terra possa sfuggire completamente alla gravità del Sole (ma soltanto appena appena!), occorre che abbia una velocità Vf = 1,414...×V0 = 42,42 km/s. Sia E0 l'energia di un tale oggetto. Allora, poiché

Vf2 = 2 V02

otteniamo (per un'orbita attorno alla Terra)

E0 = m V02   –   k m / r1

    Poiché possiede esattamente la velocità di fuga, se aspettiamo per un tempo lunghissimo, questo oggetto arriverà estremamente lontano dalla Terra, e, avendo praticamente esaurito tutta la sua energia cinetica, la sua velocità sarà molto prossima allo zero. Allora entrambi i termini a secondo membro dell'equazione (2) tenderanno a zero, per cui

   

E0 = 0


            Da questa espressione comprendiamo il significato del segno di E:
    E negativa corrisponde sempre ad orbite ellittiche, legate alla gravità del Sole, come quelle dei pianeti.
    E positiva caratterizza traiettorie "iperboliche", non legate alla gravità solare, come quella della sonda spaziale Voyager 2, che si allontana dal Sistema Solare verso lo spazio immenso ed oscuro, mantenendo sempre una certa velocità.
    Infine i moti con E = 0 sono "parabolici" e costituiscono il confine tra i due gruppi, non sono limitati in distanza, ma rallentano sempre di più al crescere della distanza. Alcune orbite di comete non periodiche si comportano più o meno in questo modo.


Pertanto si ha

m V02   –   k m / r1 = 0

    Dividendo per m e spostando il termine negativo Vf  a secondo membro

   

V02 = k / r1

    da cui si può ricavare il valore di k

   

                            k = V02 r1                     (3)              

Un po' di calcoli

    Ritorniamo ora alla nostra astronave nella sua orbita di trasferimento verso Marte. La sua energia deve essere la stessa al perigeo P e all'apogeo A, per cui, dall'equazione (2)

   

1/2 m V12   –   k m / r1   =   1/2 m V22  –   k m / r2

    Dividendo ambo i membri per m ("eliminando m") e moltiplicandoli per 2

   

V12   –   2 k / r1   =   V22   –   2 k / r2

Spostando alcuni termini (aggiungendo opportune quantità ad entrambi i membri) e sostituendovi il valore di k della (3), si ottiene

V12   –   V22   =   2 V02 r1 (1/r1   –   1/r2)  

                                        =   2 V02 (1   –   (r1/r2))                     (4)


    A questo punto è opportuno fermarci un momento per avere una visione più ampia. Abbiamo ora due -- e soltanto due -- quantità incognite, V1 e V2 , ed abbiamo anche due equazioni separate che le contengono, indicate con i numeri (1) e (4). In matematica, in generale, due equazioni sono sufficienti per trovare due incognite. Non è una garanzia assoluta, ma usualmente due equazioni vanno bene, e in questo caso è così.


        La ricetta generale per risolvere casi come questo è:
  1. Usare una equazione per esprimere una variabile in funzione dell'altra.
  2. Sostituire questa espressione nell'altra equazione, così che resti soltanto una equazione ed una incognita.
  3. "Muovere" i termini, addizionando, sottraendo, moltiplicando, dividendo ed effettuando le stesse operazioni su entrambi i membri, fino a che la restante quantità incognita resti isolata a primo membro dell'equazione, mentre a secondo membro ci saranno soltanto quantità note. Ora la quantità incognita può facilmente essere valutata in funzione dei termini noti, e si ottiene così la soluzione.
    Sembra in effetti una procedura molto semplice, e spesso lo è. Tuttavia, occorre fare molta attenzione ai passaggi, poiché talvolta il procedimento porta ad espressioni complicate. Ad ogni passaggio, cercate di fare tutte le semplificazioni possibili! Altrimenti, anche se il procedimento algebrico è formalmente corretto, è facile fare errori, se durante i passaggi le espressioni diventano grandi e complicate.


    Come primo passo, usiamo l'equazione (1) per esprimere V2 :

   

                    V2 = V1 (r1/r2)                     (5)

Elevando a quadrato
V22 = V12(r12/r22)

    Sostituendo questa espressione a primo membro della (4)

   

V12 – V22   =   V12 (1   –   (r12/r22))

                         =   V12 (r22   –   r12) / r22

    Questo può essere posto uguale al secondo membro della (4), e quindi abbiamo già un'equazione per il punto 2 della "ricetta" -- una sola equazione in una sola incognita, cioè V1. Ma invece di procedere in modo troppo affrettato, è opportuno separare il maggior numero possibile di fattori. Forse qualcosa si potrà semplificare!

    Da una ben nota identità (ved. anche "Identità")

   

(r22  -  r12)   =   (r2 + r1) (r2  -  r1)

si ha             

V12   –   V22   =   V12 (r2 + r1) (r2 - r1) / r22                        (6)

    Conserviamo l'equazione (6) per un uso futuro e consideriamo il secondo membro della (4). Possiamo introdurvi un denominatore comune r2:

2 V02 (1 – (r1/r2))   =   2 V02 (r2–r1)/ r2             (7)

    Per la (4), le espressioni (6) e (7) sono uguali:

   

V12 (r2 + r1) (r2 – r1) / r22   =   2 V02 (r2– r1)/ r2

    Il nostro trucchetto ha funzionato: ora entrambi i membri possono essere divisi per (r2- r1), si può eliminare quel termine e moltiplicare poi entrambi i membri per r2 , ottenendo una ulteriore semplificazione. Se fossimo andati troppo di fretta poco fa, le nostre espressioni sarebbero state molto più complicate! Quello che resta è

   

V12 (r2 + r1) / r2 = 2 V02

    Moltiplicando per r2, e dividendo per (r2 + r1), la quantità incognita resta isolata -- è al quadrato ma questo non importa:

   

V12 = 2 V02 r2 / (r2 + r1)             (8)

    A questo punto sostituiamo i valori numerici:

   

2 r2 / (r2 + r1) = 2 (1,523691) / (2,523691) = 3,047382 / 2,523691 = 1,20751

da cui
V12 = 1,20751 V02

    Possiamo estrarre la radice quadrata da entrambi i membri (una delle prime regole algebriche) e quindi

   

V1 = 1,098867 V0

   
Se  V0 = 30 km/s

V1 = 32,966 km/s

e questo mostra che dobbiamo aggiungere soltanto 2,966 km/s, appena meno di 3 km/s pari al 10% della velocità orbitale.


L'arrivo vicino a Marte

La velocità V2 con cui l'astronave arriva nelle vicinanze di Marte si ricava dalla (5)

   

V2 = V1 (r1/r2) = (1 / 1,523691)( 32,9674) km/s

   

= 21,6356 km/s

    L'astronave ha ceduto un po' della sua energia cinetica per contrastare l'attrazione solare e spostarsi più lontano dal Sole. La questione importante è ora di confrontare questa velocità con quella V3 di Marte sulla sua orbita.

    Per ricavare una velocità in km/s, le distanze devono essere espresse in chilometri e i tempi in secondi, ma "a beneficio dei principianti", suddividiamo il calcolo, evitando i numeri grandi e la notazione scientifica. Iniziamo con la 3ª legge di Keplero per orbite circolari, con la distanza r espressa in UA e il periodo orbitale T espresso in anni. Come si è visto nella precedente sezione (e anche nella sezione 10), con queste unità

T2 = r3

    Per Marte:     r = 1,523691           T2 = (1,523691)3 = 3,53745

T = 1,8808 anni

Usiamo il valore numerico classico 1,8822 (poiché qui avavamo fatto alcune approssimazioni) e assumiamo 365,25 giorni per l'anno (giuliano). Si ha quindi:

T = 1,8822 anni = 687,473 giorni

    Durante questo tempo l'astronave percorre

2 p r = (6,2832) (1,523691) (150·000·000) km = (1436,05) (1·000·000) km

    Dividendo per T, si ottiene

(1436,05 / 687,473) (1·000·000) = (2,08888) (1·000·000)

                       = 2,088880 km/giorno

Ogni giorno ha (24)(3600) = 86400 secondi, per cui il tratto di orbita percorso da Marte ogni secondo è

2·088·880 / 86400 = 24,192 km

    La "distanza-per-secondo" non è altro che la definizione di velocità. Pertanto

   

V3 = 24,177 km/s

Confrontandola con
V2 = 21,632 km/s

vediamo che è Marte quello che si muove più rapidamente, e sorpasserà l'astronave. Per accordare la sua velocità con quella di Marte, l'astronave dovrà generare una ulteriore spinta di 2,545 km/s.


Il prossimo argomento: #21d. Il volo verso Marte: il viaggio di ritorno

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Autore e Curatore:   Dr. David P. Stern
     Ci si può rivolgere al Dr. Stern per posta elettronica (in inglese, per favore!):   stargaze("chiocciola")phy6.org

Traduzione in lingua italiana di Giuliano Pinto

Aggiornato al 21 Ottobre 2005