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(18b) La quantità di moto

Un cannone che pesa una tonnellata (1000 chilogrammi) spara un proiettile da 10 kg a una velocità di 1000 metri/secondo. Con quale velocità rinculerà il cannone?

Il rinculo

A prima vista sembra che qui manchi qualcosa. Come si possono applicare le leggi di Newton a un problema in cui non sono date né la forza né l'accelerazione? Ma aspettate un momento!

Cominciamo a cercare la soluzione, raccogliendo tutte le informazioni che abbiamo. Indicando con l'indice 1 le quantità relative al proiettile e con l'indice 2 quelle relative al cannone, abbiamo

    Proiettile:          m1 = 10 kg             v1 = 1000 m/s
    Cannone:         m2 = 1000 kg           v2 = ?        

Quando un problema implica delle quantità che non vengono specificate, la cosa migliore è di indicare ciascuna di esse con un nome e sperare per il meglio: o il loro valore verrà fuori, oppure "verranno eliminate", mostrando che la loro conoscenza non era essenziale alla soluzione.

Un tale "miracolo" può avvenire se tutte le informazioni necessarie per la soluzione erano state già date. Vi occorrerà comunque una certa esperienza per valutare se tutte le informazioni vitali sono a portata di mano oppure no.

Quali quantità mancanti sono necessarie alle equazioni? Tanto per cominciare, le forze (F1, F2) che agiscono sul proiettile e sul cannone, la grandezza delle loro accelerazioni (a1, a2) che assumiamo costanti (sappiamo che esse hanno verso opposto l'una dall'altra), e la durata temporale durante la quale esse agiscono. Ora raccogliamo le equazioni:

Dalla seconda legge

    F1 = m1a
    F2 = m2a2
La terza legge ci dice che le forze hanno grandezza uguale, per cui

m1a1 = m2a2                  (1)

e questo elimina le forze dalla scena. Inoltre:

v1 = a1t
v2 = a2t

Dividendo membro a membro queste due equazioni, si ottiene

v2/v1 = a2/a1                  (2)

eliminando così il tempo t. Tornando all'equazione (1), dividiamo entrambi i membri per a1m2. Quindi

m1/m2 = a2/a1                   (3)

Sostituendo la (2) nella (3) o viceversa, si vede che anche le accelerazioni spariscono. Quello che resta è soltanto

m1/m2 = v2/v1                   (4)

dove tutte le quantità sono note eccetto la velocità di rinculo v2. Possiamo allora ricavare il suo valore, moltiplicando entrambi i membri per v1

v2 = v1 (m1/m2) = 1000 (10/1000) = 10 m/sec

La nostra equazione finale (4) diventa più simmetrica se eliminiamo le frazioni. Moltiplicando entrambi i membri per il prodotto (m2v1) dei denominatori, si ottiene

m1v1 = m2v2                   (5)

La quantità "massa moltiplicato velocità" (cioè "il prodotto della massa per la velocità") è chiamata quantità di moto ed è spesso indicata con la lettera P. Un modo di interpretare l'ultima equazione (5) è di affermare che la quantità di moto del cannone è uguale alla quantità di moto del proiettile.

Conservazione della quantità di moto

In realtà, la quantità di moto P, al pari della velocità, è una quantità vettoriale. Supponiamo di considerare le velocità in un verso come positive, e quelle nel verso opposto come negative. Pertanto

v1= 1000 m/s     P1 = m1v1 = 10 kg × 1000 m/s = 10·000 kg · m/s

v2= - 10 m/s     P2 = m2v2 = 1000 kg × (- 10 m/s) = -10·000 kg · m/s

Prima che il cannone avesse sparato, nessuna massa aveva una velocità e quindi la quantità di moto totale P = P1 + P2 era zero. Dopo, evidentemente, la quantità di moto totale era rimasta zero. Questa è una proprietà generale (ed è un'altra formulazione delle leggi di Newton) e può essere espressa così

In un sistema di oggetti su cui non agiscano forze esterne, la somma vettoriale di tutte le quantità di moto rimane la stessa ("si conserva").

Questo vale anche quando sono coinvolti tre o più oggetti e ciascuno di essi si muove lungo direzioni completamente differenti. Per esempio, "le bombe che esplodono nell'aria" dell'Inno Nazionale americano hanno la stessa quantità di moto dell'insieme dei frammenti e dei gas prodotti immediatamente dopo la loro esplosione, prima che sia entrata in gioco la resistenza dell'aria. Questo è anche il principio con cui funzionano i razzi: espellendo all'indietro la massa di un veloce getto di gas, il razzo riceve una identica quantità di moto che lo spinge in avanti.

L'energia

Quando un cannone rincula, esso riceve la stessa quantità di moto del proiettile. Come è ripartita l'energia E? Poiché

E = mv2/2
si ha, per il proiettile

E1 = 10 kg (1000m/s)2/2 = 5·000·000 joule

e per il cannone

E2 = 1000 kg (10 m/s)2/2 = 50·000 joule

Una ripartizione molto poco equa! Il cannone, che ha una massa 100 volte maggiore, riceve un'energia 100 volte minore. È questa la regola?
    Sì, è proprio così. Si ha, usando i simboli:

E1 = m1v12/2

E2 = m2v22/2

Dividendo membro a membro

E1/E2 = m1v12/m2v22

Sostituendo l'equazione (5) al numeratore del secondo membro, e quindi eliminando (m2v2) sopra e sotto, otteniamo

E1/E2 = v1/v2

Dalla (4) capovolta

v1/v2 = m2/m1

e quindi

                      E1/E2 = m2/m1                 (6)

La massa più piccola riceve sempre la parte del leone dell'energia!

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Autore e Curatore:   Dr. David P. Stern
     Ci si può rivolgere al Dr. Stern per posta elettronica (in inglese, per favore!):   stargaze("chiocciola")phy6.org

Traduzione in lingua italiana di Giuliano Pinto

Aggiornato al 10 Dicembre 2005