Il lavoro è associato a una forza che vince una resistenza. Il lavoro W effettuato contro una forza resistente F su una distanza x è definito come F moltiplicato x

    Occorre notare: F si deve opporre al moto. Se la direzione del vettore F è diversa dalla direzione di x, allora F deve essere decomposta nelle due componenti parallela e perpendicolare a x (come è stato discusso nella sezione 14) e soltanto la componente che si oppone direttamente al moto va usata nella formula per W.
    Inoltre se F varia nel corso del movimento, deve essere usata una opportuna media nella formula per W (occorrono nozioni di calcolo infinitesimale per valutare una tale media).

    Supponiamo di sollevare un peso A di massa m su una distanza h (in altezza) dal pavimento al tavolo (Figura 1). La forza che dobbiamo vincere è

    Questa, tuttavia, non è altro che l'energia potenziale che si aggiunge al peso! Possiamo collegare il peso con una corda a un altro peso -- che indicheremo con B -- che stia sul pavimento, e far passare la corda su una puleggia. Allora (considerando una puleggia ideale senza attriti e una corda ideale senza peso), se la massa che sta sul tavolo viene spinta oltre il bordo, una minima spintarella verso il basso la farà scendere fino al pavimento, mentre B salirà al livello del tavolo.

    È stato compiuto il lavoro W per sollevare la massa B, mentre la massa A ha ceduto la sua energia potenziale. Questo esempio mostra che l'energia è in effetti "la capacità di compiere un lavoro": viene ceduta l'energia potenziale e in cambio viene compiuto un lavoro.

    Il lavoro compiuto per sollevare B è stato di nuovo investito per accumulare energia potenziale. Con pulegge e corde ideali, tale energia di nuovo uguaglia W, illustrando così il principio della conservazione dell'energia. In un sistema ideale senza perdite, questa energia può essere impiegata per sollevare A fino alla sua precedente altezza. Si noti che la nostra definizione operativa "l'energia è qualsiasi cosa che possa far girare una macchina" vale ancora, poiché far scendere un peso può in effetti far girare una macchina.

    L'energia si conserva sempre, ma -- come si è visto in una precedente sezione -- non sempre in una forma riutilizzabile. Supponiamo che il peso A sia legato, non a un peso uguale sul pavimento, ma a un blocco di cemento sul tavolo Figura 2). Se la forza di attrito radente del blocco sulla superficie del tavolo è esattamente uguale a mg, allora, facendo cadere A, il blocco scorrerà per una distanza h vincendo la forza F lungo quel percorso.

    Ma in questo caso l'energia potenziale mgh è stata convertita in calore, generato dall'attrito. Anche questa è energia, ma è un'energia dispersa a livello molecolare, difficile da riconvertire in lavoro. Come si è notato nella sezione 15 sull'energia, anche con dispositivi e sostanze ideali, la fisica ci può al massimo permettere di recuperare una certa frazione di quell'energia, ma mai tutta.

Curiosità:
  I due pesi A e B del primo disegno illustrano il principio delle funicolari, brevi ferrovie con un tratto che sale in linea retta su un ripido pendio di una collina o di una montagna. Le funicolari hanno sempre due piccoli convogli (talvolta costituiti da un'unica vettura), collegati con un cavo di acciaio. Il cavo va da un convoglio fino in cima all'altura, dove si avvolge diverse volte su un grosso cilindro, fatto girare da un motore, e quindi scende di nuovo agganciandosi all'altro convoglio.

  Dal momento che i due convogli sono collegati tra loro, quando uno sale l'altro scende, e, cedendo la sua energia potenziale, aiuta a tirare in su l'altro convoglio. Le varie stazioni lungo il percorso devono essere sempre coordinate, in modo che quando un convoglio in salita si ferma alla stazione X, quello in discesa si fermi alla stazione Y (e successivamente, con il convoglio in salita alla stazione Y, quello in discesa deve stare alla stazione X). Quando un convoglio raggiunge la stazione più in basso, l'altro raggiunge la stazione in cima.

  Si potrebbe pensare che siano necessari due binari, uno per ciascun treno. In effetti, è sufficiente un solo binario, purché a metà altezza, quando i due treni si incrociano, sia inserita una breve sezione a due binari, con degli scambi che automaticamente indirizzino ciascun treno su un binario diverso, così che si possano incrociare in tutta sicurezza. Anche i vagoncini appesi a un cavo delle funivie turistiche, che raggiungono le vette montane, sono in genere collegati a coppie allo stesso modo, ma sono appesi a cavi separati.

    Ma in natura esistono anche altre forze, come la forza elettrica.

Le forze elettriche

    Tuttavia, strofinando (diciamo) un pezzo di vetro con un panno asciutto di lana, gli elettroni possono essere rimossi, lasciando il vetro positivo, mentre gli stessi elettroni sono catturati dal panno che quindi acquista una carica negativa. Altri materiali (come l'ambra) attraggono gli elettroni dal panno di lana e quindi diventano negativi quando vengono strofinati. Gli oggetti con carica positiva attraggono quelli con carica negativa, ma due oggetti caricati positivamente, oppure due oggetti caricati negativamente, si respingono tra loro.

    Esistono altri modi per staccare gli elettroni dalla materia, ma il processo è auto-limitante. Supponiamo infatti di depositare degli elettroni aggiuntivi su un oggetto: l'oggetto diventa carico negativamente, ma così respingerà ogni altro elettrone, non permettendo una ulteriore aggiunta alla sua carica. Matematicamente questo può essere espresso da una "pressione elettrica" negativa (nota anche come "voltaggio" negativo, poichè viene misurata in unità chiamate volt) che respinge ogni altra carica negativa. Se questo voltaggio (o "tensione") diventa troppo elevato, gli elettroni possono essere espulsi sotto forma di scintilla, ed esiste un effetto simmetrico per le cariche positive, in cui gli elettroni vengono violentemente attratti dai materiali circostanti. Questo è ciò che accade nei fulmini, dove i processi in una nube temporalesca (ved. figura qui sotto) separano le cariche elettriche e generano alte tensioni.

    In generale, le punte producono scintille, anche a basse tensioni, mentre una grossa sfera, con una curvatura piuttosto blanda, difficilmente produce scintille. La cosa interessante da notare è che la forza di repulsione (o di attrazione) esiste soltanto al di fuori della sfera: all'interno di una cavità chiusa non si osservano forze o tensioni elettriche. Vi potrà far piacere sapere che se state seduti all'interno della carlinga chiusa di alluminio di un aeroplano, mentre questa viene ccolpita da un fulmine, le forze elettriche non vi provocheranno alcun effetto.

L'invenzione di Van de Graaff

    Poiché la gomma non conduce l'elettricità (cioè non consente alle cariche elettriche di muoversi da un punto all'altro, come avviene nei metalli), la cinghia trasporta le sue cariche dentro la sfera, nel cui interno un'altra serie di punte, poste vicine alla cinghia, le raccoglievano. Le punte erano collegate con dei fili alla sfera, cosicché la carica si distribuiva su di essa.

    Progressivamente la sfera diveniva sempre più negativa. Questo non impediva che gli elettroni si scaricassero all'interno della cavità, ma la tensione all'esterno, tuttavia, poteva salire fino ad alcuni milioni di volt. Quando questa tensione diventava abbastanza alta, in genere una scintilla, simile a un fulmine, si scaricava verso il suolo o verso un opportuno bersaglio metallico. Nel Museo delle Scienze di Boston (come in molti altri musei del mondo) è installato un generatore di questo tipo, che viene usato per offrire ai visitatori una impressionante dimostrazione.

L'energia e il lavoro compiuto

I vettori come estensione dei numeri

L'idea dei numeri si è sviluppata molto gradualmente. Dapprima vennero gli interi positivi -- 1,2,3... (non lo zero, che è stata un'aggiunta molto più recente) per descrivere gli oggetti contabili, come le pecore, i giorni, i membri della tribù, ecc.

Il concetto dei numeri negativi può essere stato originato da un'estensione della sottrazione, o forse dal denaro -- il denaro dovuto era una ricchezza "negativa", scritta in rosso nel registro contabile.

Oggetti che potevano essere suddivisi, come per esempio le terre, portarono alle frazioni. Attorno al 500 a.C. uno studente di Pitagora dimostrò che il numero corrispondente alla radice quadrata di 2 non poteva essere espresso come una frazione; questo non aveva molto senso per quei tempi, per cui ancora oggi chiamiamo quei numeri "irrazionali". Con questi numeri, interi, frazioni e irrazionali, può essere descritto tutto ciò che ha una dimensione, una grandezza.

Ma come facciamo a descrivere una velocità, che ha, oltre a una grandezza, una direzione?

Con un vettore, naturalmente.

Somma di vettori

Le velocità possono essere sommate. Supponiamo che un aeroplano voli a 300 km/ora con un vento in coda di 60 km/ora. Quanto velocemente si sposta rispetto al suolo? Facile: per ogni 300 km di percorso, il vento lo trasporta in avanti di altri 60 km, per cui la risposta è

Graficamente, ogni distanza sul suolo, od ogni velocità, può essere rappresentata da una freccia che dà la direzione, e la cui lunghezza rappresenta la grandezza: per esempio, una freccia AB lunga 300 mm (millimetri) corrispondente al moto dell'aeroplano e un'altra BC, lunga 60 mm, nella stessa direzione, corrispondente al vento. Per sommare le due velocità, basta posizionare le due frecce, una di seguito all'altra, come nella figura più in alto, qui accanto.

e la "somma delle frecce" (figura centrale) ce lo conferma.

Supponiamo adesso che la rotta dell'aereo sia diretta verso est, ma con un vento di 150 km/ora che soffia di lato verso nord-est: in che direzione si muoverà l'aereo, e quanto velocemente? L'intuizione questa volta non ci aiuta, ma il metodo della somma delle frecce funziona ancora (figura più in basso, non in scala).

Come regola generale, la combinazione delle due velocità porta l'aeroplano, in un'ora, nello stesso punto che si raggiungerebbe se la prima velocità e poi la seconda agissero separatamente durante un'ora di tempo. Come ci si può aspettare, la direzione combinata corrisponde a una via di mezzo tra est e nord.

  Tutti i vettori possono essere addizionati in questo modo, come frecce collocate con la coda dell'una sulla punta della precedente. Esiste comunque anche un altro metodo, spesso più facile da usare, che verrà descritto più avanti.

Scomposizione di un vettore nei suoi componenti

  Supponiamo che un dato singolo vettore sia rappresentato dalla freccia AB nel disegno, e desideriamo scomporlo nella somma di due vettori diretti lungo AA' e AA". Tracciamo due linee lungo AA' e AA", e inoltre due linee parallele ad esse che finiscano nel punto B, l'altra estremità del vettore. Se AA' e AA" sono perpendicolari tra loro (che è il caso più usuale), queste linee racchiuderanno un rettangolo ACBD, di cui AB è la diagonale. È ora evidente che AC e CB costituiscono la soluzione del nostro problema, e, con una addizione di vettori

AC + CB = AB

Uso delle componenti di un vettore

(a) Sommare molti vettori

  Un modo molto più rapido è quello di scegliere due direzioni perpendicolari tra loro: con la notazione delle coordinate cartesiane, una direzione sarà chiamata la "direzione x" e l'altra la "direzione y". Si scompone quindi ogni vettore V in una "componente x" V_x lungo la direzione x e una "componente y" V_y lungo la direzione y.

   Adesso abbiamo non 10 ma 20 vettori che devono essere addizionati, ma il lavoro è molto più facile. Di questi vettori, 10 sono allineati con la direzione x, e vettori nella stessa direzione (come le velocità con il vento in coda e contro vento nel precedente esempio dell'aeroplano) si sommano come numeri ordinari. Lo stesso vale per gli altri 10 vettori allineati con la direzione y. Il problema si riduce a una fila di ordinarie addizioni e sottrazioni (vettori orientati in verso opposto hanno il segno negativo), e soltanto l'ultima fase -- quella di sommare tra loro il totale della direzione x con il totale della direzione y -- richiede un procedimento di somma di vettori.

Nota: Il mondo reale è tridimensionale, e così sono i vettori. Anche i vettori in tre dimensioni possono però essere decomposti, ciascuno di essi risultando uguale alla somma di tre vettori nelle direzioni (x, y, z), e il rettangolo diventa un parallelepipedo, cioè una sorta di scatola rettangolare. Le componenti dello stesso tipo possono essere addizionate come nel caso bidimensionale visto sopra, e l'addizione finale comporta soltanto una somma dei vettori con ciascuna orientazione. Il vettore somma è ora la diagonale della scatola rettangolare, di cui le tre somme sono i lati.

(b) Calcolare un vettore somma

Riprendiamo l'esempio precedente dell'addizione di vettori -- un aeroplano che vola verso est a 300 km/ora (la sua velocità anemometrica, cioè la sua velocità rispetto all'aria), mentre un vento a 150 km/ora soffia verso nord-est. Il triangolo che rappresenta la somma vettoriale di questo esempio si trova in fondo alla prima figura di questa sezione.

Sia la direzione x quella verso est e la direzione y quella verso nord. Allora, le componenti (x,y) della velocità sono, in km/ora,

• --quelle della velocità rispetto all'aria, (300,0)
• --quelle della velocità del vento (150 cos 45^o,150 sin 45^o) = (106, 106)

Questo risultato fornisce la velocità totale V. Per il teorema di Pitagora,

e quindi la grandezza di V è approssimativamente 420 km/ora, dove l'angolo acuto nel punto A della figura (che pure chiameremo A) soddisfa la relazione

Da cui risulta che A è circa 16,62 gradi.

(c) Il piano inclinato

• Una è perpendicolare alla superficie, è rappresentata dal segmento AC ed ha una grandezza pari a W cos s. Questa forza è completamente annullata dalla resistenza della superficie, la quale non consente alcun moto in quella direzione. Se nel moto si considera l'attrito, tuttavia, la forza di attrito è proporzionale a questa componente.

• L'altra forza è parallela alla superficie, è rappresentata dal segmento AD, ha una grandezza W sin s, se non c'è nessun attrito a ostacolare il moto, ed è quella che consente al blocchetto di accelerare in quella direzione. La forza è più piccola del peso W di un fattore moltiplicativo sin s, un numero sempre più piccolo di 1, mentre la massa del blocchetto resta inalterata. La sua accelerazione è quindi ridotta dello stesso fattore e non corrisponde a g, come avverrebbe in caduta libera, ma è soltanto g sin s.

Per un'orbita circolare intorno alla Terra, abbiamo trovato

T² = (4π²/g R_t²) r³

con T in secondi e r in metri. La distanza di un satellite dal centro della Terra, espressa in metri, è un numero troppo grande e poco maneggevole, anche prima di elevarlo alla terza potenza. Moltiplichiamo allora l'espressione a secondo membro per (R_t³/R_t³) = 1 e riaggiustiamo i termini:

T² = (4π²/g R_t²) (R_t³/R_t³) r³ = (4π²R_t/g) (r/R_t)³

Il rapporto r' = (r/R_t) è la distanza orbitale espressa in unità di raggi terrestri. Questo numero è in genere compreso tra 1 (al livello della superficie terrestre, r = R_t) e 60 (alla distanza dell'orbita lunare, r ~ 60 R_t).

Inoltre, questo rapporto è sempre lo stesso, sia che r e R_t siano espressi in metri, in iarde o in miglia marine, purché sia r che R_t siano espresse nelle stesse unità. L'altro termine verrà ora calcolato qui di seguito (gli spazi tra le parentesi indicano una moltiplicazione; potete anche verificare i passaggi con una calcolatrice).

(4π²R_t/g) = (4) (9,87) (6 371 000)/9,81 = 25 638 838

Indicando con √ il segno di radice quadrata

√(25 638 838) = 5063,5 Da cui

Questa è la pratica forma della 3ª legge di Keplero per i satelliti della Terra. Un ipotetico satellite che volasse radente alla superficie terrestre (r' = 1) avrebbe un periodo

T = 5063,5 sec = (5063,5/60) minuti = 84,4 minuti

La Navetta Spaziale deve uscire dall'atmosfera e andare un po' più in alto. Diciamo che la sua orbita si trova a una distanza r' = 1,05 con √(r') = 1,0247. Pertanto

T = (5063,5) (1,05) (1,0247) = 5448 secondi = 90,8 minuti

I satelliti internazionali per le comunicazioni orbitano nel piano equatoriale terrestre e hanno un periodo orbitale di 24 ore. Mentre la Terra ruota, essi le corrono dietro e perciò stanno sempre nello stesso punto del cielo. Qual'è la loro distanza?

In questo caso T è noto e dobbiamo solo trovare r':

T = 24 ore = 86 400 sec = 5063,5 √(r')³

√(r')³ = 86 400/5063,5 = 17,0632

Se tutti i numeri su questa riga sono uguali, saranno uguali anche i loro quadrati, per cui

(r')³ = (17,0632)² = 291,156

Ora occorre una calcolatrice per ricavare la radice cubica (oppure, che è la stessa cosa, la potenza 1/3 = 0,333...). Si ottiene

r' = 6,628 raggi terrestri

per la distanza dei satelliti "geostazionari". I satelliti per il "Global Positioning System" (GPS), per mezzo dei quali, con piccolo strumento che sta nel palmo di una mano, si può conoscere la propria posizione sulla superficie del globo terrestre con sorprendente accuratezza, hanno orbite con un periodo di 12 ore. Volete provare a calcolare la loro distanza?