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(18) Il secondo principio della dinamica
(2ª legge di Newton)


     Isaac Newton sulla banconota inglese da una sterlina
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Sommario -- fino a questo punto:
  1. --La forza è il nome dato a qualunque cosa che causi il moto.
  2. --La forza più familiare è il peso, la forza che tira verso il basso un oggetto a causa della gravità. Possiamo quindi misurare la forza in grammi o in chilogrammi, unità di peso, e definire grossolanamente forza "tutto ciò che si può confrontare col peso" (per esempio la tensione di una molla).
  3. --Le forze possono essere contrastate o non contrastate da una forza resistente.
  4. --In assenza di forze resistenti, se nessuna forza agisce su un oggetto in quiete o in moto rettilineo uniforme, l'oggetto conserverà il suo stato indefinitamente (primo principio della dinamica).
  5. --In assenza di forze resistenti, se una forza agisce su un oggetto in quiete o in moto rettilineo uniforme, l'oggetto accelera nella direzione della forza.
  6. --L'accelerazione di un tale oggetto è limitata dalla sua propria resistenza al moto, che Newton chiamò la sua inerzia.
  7. --Se si può trascurare la resistenza dell'aria, un oggetto leggero cade alla stessa velocità di un oggetto che pesi il doppio. Newton suggerì che la ragione fosse dovuta al fatto che, benché la forza di gravità sull'oggetto più pesante (il suo peso) fosse di intensità doppia, anche la sua inerzia era doppia.

        In termini moderni, noi diciamo che sia il peso che l'inerzia sono proporzionali alla massa dell'oggetto, cioè alla quantità di materia che esso contiene.


Il sistema MKS e il "newton"

    Consideriamo la caduta libera dovuta alla gravità. La forza di gravità è proporzionale alla massa m, per cui possiamo scrivere

F = mg            (1)

    dove g è l'accelerazione di gravità diretta verso il basso. In effetti, la proporzionalità ci consentirebbe di aggiungere una costante moltiplicativa a secondo membro, ma non lo faremo, poiché ora vogliamo definire delle unità di misura per F.

    Tutte le formule quantitative e le unità di misura della fisica dipendono dalle unità in cui sono misurate tre quantità fondamentali: distanza, massa e tempo. Scegliamo quindi d'ora in poi di misurare la distanza in metri, la massa in chilogrammi e il tempo in secondi. Questa convenzione è nota come sistema MKS: finché le formule contengono soltanto quantità derivate da questo sistema, esse saranno consistenti e corrette. Ma, attenzione...   se per errore si mischiano le unità MKS con grammi o centimetri (o peggio, con libbre e pollici), ne deriverà un risultato terribilmente strano!

    [Questo, in realtà, è stato il motivo per cui il "Mars Climate Orbiter", una sonda spaziale da 125 milioni di dollari, andò perduto il 23 settembre 1999. Quando fu acceso un piccolo razzo per aggiustare la rotta di rientro nell'atmosfera marziana, l'operatore, di una ditta che lavorava per la NASA, pensò che la spinta fosse espressa in unità inglesi. Al contrario, tutte le specifiche della NASA sono espresse in unità metriche].

    Nel sistema MKS il valore effettivo di g varia da 9,78 m/s2 all'equatore a 9,83 m/s2 ai poli, a causa della rotazione terrestre (ved. la sezione 24a). L'equazione (1) non solo mostra che il peso è proporzionale alla massa, ma -- assumendo di misurarlo in chilogrammi -- introduce una unità per F, chiamata (non c'è da sorprendersi!) il "newton".

    Da quell'equazione si deduce che la forza di un newton che agisce su un oggetto della massa di un chilogrammo lo accelera di 1 m/sec2, cosicché la forza di gravità su un chilogrammo massa è di circa 9,8 newton. Un tempo questo valore era chiamato "una forza di un chilogrammo peso", una unità di misura conveniente per applicazioni grossolane (1 kg = 9,8 newton), ma non per applicazioni accurate, a causa della variazione di g nei vari punti della superficie terrestre.

La seconda legge di Newton

    Possiamo ora esprimere in numeri la dipendenza dell'accelerazione dalla forza e dalla massa. Lord Kelvin, eminente scienziato inglese dell'era vittoriana, disse una volta
    "Quando potete misurare quello che state dicendo e lo esprimete in numeri, ne saprete qualcosa, ma quando non potete esprimerlo in numeri, la vostra conoscenza sarà scarsa e insoddisfacente... "

    Dalla seconda legge di Newton (o secondo principio della dinamica), l'accelerazione di un oggetto è proporzionale alla forza F che agisce su di esso e inversamente proporzionale alla sua massa m. Esprimendo F in newton otteniamo per a -- per qualsiasi accelerazione, e non soltanto per la caduta libera -- la formula

a = F/m             (2)

    Occorre notare che sia a che F non hanno solo una grandezza ma anche una direzione, esse infatti sono entrambe quantità vettoriali. Indicando i vettori (in questa sezione) con le lettere in grassetto, la seconda legge di Newton si può scrivere più correttamente

      a = F/m             (3)

In questo modo si esprime la precedente affermazione "l'oggetto accelera nella direzione della forza".

Su molti libri di testo si trova scritto

      F = ma             (4)

ma in realtà l'equazione (3) è la forma più corretta, poiché F e m sono i dati di ingresso, mentre a è il risultato. Il seguente esempio dovrebbe rendere più chiaro questo concetto.

Esempio: il razzo V-2

    Il razzo militare V-2, usato dai tedeschi nel 1945, pesava circa 12 tonnellate (12 000 kg) riempito di propellente, e 3 tonnellate vuoto. Il suo motore a razzo sviluppava una spinta di 240·000 N (newton). Approssimando g a 10 m/s2, qual'era l'accelerazione della V-2 (1) al momento del lancio e (2) quando era a piena velocità, appena prima di aver esaurito il propellente?

Soluzione     Consideriamo positiva la direzione verso l'alto, e negativa quella verso il basso: usando questa convenzione, possiamo lavorare con i numeri anziché con i vettori. Al lancio, sono due le forze che agiscono sul razzo: una spinta di +240·000 N e il peso del razzo a pieno carico, mg = –120·000 N (se la spinta fosse minore di 120·000 N, il razzo non riuscirebbe a sollevarsi da terra!). La forza totale verso l'alto è quindi

F = + 240·000 N – 120·000 N = +120·000 N,

e l'accelerazione iniziale, per la seconda legge di Newton, è

a = F/m = +120·000 N/12·000 kg = 10 m/s2 = 1 g

Il razzo quindi inizia a sollevarsi con la stessa accelerazione che avrebbe un sasso quando inizia a cadere. Via via che il propellente viene usato, la massa m diminuisce, ma la forza non diminuisce, per cui ci aspettiamo che l'accelerazione aumenti ancora. Quando tutto il propellente è stato consumato, mg = –30·000 N e quindi abbiamo

F = + 240·000 N – 30·000 N = +210·000 N,

giving
a = F/m = +210·000 N/3·000 kg = 70 m/s2 = 7 g

Il fatto che l'accelerazione aumenti via via che il propellente si consuma è particolarmente importante nei voli con equipaggio, quando il "carico utile" include esseri umani. Il corpo di un astronauta, con una accelerazione di 7 g, è sottoposto ad una forza fino a 8 volte il suo peso (anche la gravità va aggiunta!), generando un trauma eccessivo (un valore di 3-4 g è probabilmente il limite massimo sopportabile senza una speciale tuta). È complicato controllare la spinta di un razzo, ma, usando un veicolo a più stadi, si può sganciare il primo stadio prima che a diventi troppo grande, e continuare con un motore meno potente. Oppure, come era stato fatto per la Navetta Spaziale e il razzo originale Atlas, alcuni motori vengono spenti o sganciati, e il volo continua con gli altri motori.

Il prossimo argomento: (18a) Il terzo principio della dinamica

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Autore e Curatore:   Dr. David P. Stern
     Ci si può rivolgere al Dr. Stern per posta elettronica (in inglese, per favore!):   stargaze("chiocciola")phy6.org

Traduzione in lingua italiana di Giuliano Pinto

Aggiornato al 10 Dicembre 2005