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Un cañón que pesa 1 tonelada
métrica (1000 kilogramos) dispara una granada de 10 kg a 1000 metros/segundo.
¿Con que velocidad retrocede el cañón?
RetrocesoA primera vista algo falla aquí. ¿Como se pueden aplicar las leyes de Newton a un problema donde no se da ni la fuerza ni la aceleración? Pero, ¡continuemos!Déjenme iniciar el proceso de solución acopiando toda la información dada. Denominando con el subíndice 1 las cantidades relacionadas con la granada y con el subíndice 2 las relacionadas con el cañón, tenemos Granada:
m1 = 10 kg
v1 = 1000 m/s
Cuando un problema concierne a cantidades sin especificar, la mejor estrategia es la de darle un nombre a cada una y esperar lo mejor: podemos encontrar cualquiera de los valores reales, ó podremos desprendernos de ellos mostrando que no son esenciales para encontrar la solución. Tales "milagros" pueden ocurrir si toda la información que necesitamos para la respuesta ya está dada. Aunque necesitará alguna experiencia para juzgar si todas las piezas necesarias de información están ya en su mano. ¿Qué cantidades ausentes son necesarias para las ecuaciones? Para empezar, las fuerzas (F1, F2) de la granada y el cañón, las magnitudes de sus aceleraciones (a1, a2) que asumimos que son constantes (sabemos que son en direcciones opuestas una a la otra), y la duración del tiempo t durante el que actúan. Ahora recuperamos las ecuaciones: De la 2ª ley
F2 = m2a2 m1a1 = m2a2 (1) lo que elimina las fuerzas de las fórmulas. También: v1 = a1t
Dividir izquierda con izquierda y derecha con derecha en la última ecuación, para obtener v2/v1 = a2/a1 (2) que elimina el tiempo t. Volviendo a la ecuación (1), dividir ambos lados por a1m2. Luego m1/m2 = a2/a1 (3) Substituir desde (2) a (3), ó viceversa, y de repente las aceleraciones, también, desaparecen. Lo que queda es m1/m2 = v2/v1 (4) donde todo es conocido excepto la velocidad de retroceso v2. Su valor se obtiene multiplicando ambos lados por v1 v2 = v1 (m1/m2) = 1000 (10/1000) = 10 m/s Nuestra ecuación final (4) se hace más simétrica si se eliminan todas las fracciones. Multiplicando ambos lados por el producto (m2v1) de los denominadores, nos da m1v1 = m2v2 (5) El producto de la masa por la velocidad se llama momento y se
denomina a menudo por la letra P. Una forma de interpretación de
la última ecuación (5) es par confirmar que el momento dado
por el cañón es igual al momento dado por la granada.
Conservación del MomentoRealmente, el momento P, como la velocidad v, es una cantidad vectorial. Supongamos que vemos las velocidades en una dirección como positivas y el la dirección opuesta como negativas. Luego |
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v2= - 10 m/s P2 = m2v2 = 1000 kg x (- 10 m/s) = -10,000 kg |
| Antes de que el cañón fuese disparado, ninguna masa tenía
velocidad y por consiguiente el momento total P = P1
+ P2 era cero. Después, evidentemente,
el momento total permanecía siendo cero. Esta es una propiedad general
( y otra formulación de las leyes de Newton) y puede ser definida
como
En un sistema de objetos no sujetos a fuerzas del exterior, el vector suma de todos los momentos permanece igual ("se conserva"). Esto también funciona cuando están implicados 3 ó
más objetos y cada unos se mueve en una dirección completamente
diferente. Por ejemplo, las granadas que explotan en el aire, tienen el
mismo momento que la serie de fragmentos y gases producidos inmediatamente
después de su explosión, antes de contar con la resistencia
del aire. Este es el principio por el que funciona un cohete: cuando arroja
masa hacia atrás en forma de chorro de gas, aumenta el momento hacia
delante en igual cuantía que el momento hacia atrás ejercido
por el chorro.
EnergíaCuando el cañón retrocede, recibe el mismo momento que la granada. ¿Como se distribuye esta energía E? Puesto queE = mv2/2 E1 = 10 kg (1000m/s)2/2 = 5,000,000 julios y para el cañón E2 = 1000 kg (10 m/s)2/2 = 50,000 julios ¡Que distribución tan desigual! El cañón, 100 veces más pesado, recibe 100 veces menos energía. ¿Es esta la regla? Si, así es. Tenemos, usando símbolos E1 = m1v12/2 E2 = m2v22/2 Dividiendo E1/E2 = m1v12/m2v22 Sustituir las ecuación (1) en el numerador, luego elimine (m2v2) arriba y abajo para obtener E1/E2 = v1/v2 Por la (4), invertida por lo tanto La masa más ligera siempre recibe la parte del león de la energía. |
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Autor y Curador: Dr. David P. Stern Y Complementada por Horacio Chávez
Última Actualización: 21 de Septiembre de 2004
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