(8d) Quanto è lontana la Luna?--2

 Quella eclisse era totale presso l'Ellesponto (lo stretto dei Dardanelli, quello stretto che separa la parte europea della Turchia dalla parte asiatica), ma soltanto i 4/5 del Sole erano coperti dalla Luna ad Alessandria d'Egitto, un po' più a sud.

 Ipparco sapeva che, durante una eclisse solare, il Sole e la Luna occupano lo stesso punto della sfera celeste. Il motivo - secondo il ragionamento di Ipparco - era che la Luna passa tra noi e il Sole.

 Egli era convinto che il Sole fosse molto più lontano della Luna, come aveva concluso Aristarco di Samo, circa un secolo prima, osservando il momento in cui la Luna era esattamente nella fase del primo o ultimo quarto (ved. le sezioni #8c and #9a). Egli suppose anche che il massimo dell'eclisse avvenisse nello stesso momento in entrambe le località (non è sempre così, ma fortunatamente non era molto lontano dal vero), e quindi eseguì il seguente calcolo.

 Visto da Alessandria (punto A), nello stesso momento, il punto E si sovrapponeva soltanto al punto C all'interno del disco solare, a circa 1/5 di diametro solare dal bordo -- ed era questo il motivo per cui l'eclisse laggiù non era totale. Un quinto di diametro solare copre circa 0,1° in cielo, per cui il piccolo angolo α (alfa) tra le due direzioni è di circa 0,1 gradi. Tale angolo è la parallasse del bordo della Luna, visto dalle due località.

E' poco probabile che Ipparco conoscesse la distanza AB, ma presumibilmente conosceva la latitudine dell'Ellesponto e di Alessandria. Può essere dimostrato che la latitudine locale è uguale all'altezza del polo celeste sull'orizzonte, e ai nostri giorni può essere facilmente ricavata osservando l'altezza della Stella Polare sull'orizzonte. Al tempo di Ipparco il polo celeste non si trovava vicino alla Polare (a causa della precessione degli equinozi), ma Ipparco, che aveva disegnato una mappa con le posizioni di circa 850 stelle, doveva conoscere piuttosto bene la sua posizione.

La latitudine dell'Ellesponto (da un moderno atlante) è di circa 40° 20' (40 gradi e 20 minuti, 60 minuti per grado), mentre quella di Alessandria d'Egitto è di circa 31° 20', con una differenza di 9°. Assumiamo anche che Alessandria sia esattamente a sud (cioè su uno stesso meridiano). Se inoltre r è il raggio della Terra, allora la circonferenza terrestre è 2πr, dove π = 3,1415926... ("pi greco") è il rapporto tra una circonferenza e il suo diametro. Poiché in una circonferenza vi sono 360°, si ottiene

dove il punto indica la moltiplicazione (l'equivalente algebrico del simbolo ×).

La distanza R della Luna

e questo suggerisce che la distanza della Luna sia pari a 90 raggi terrestri, sovrastimando il valore di circa il 50%.

Un calcolo più accurato

  Pertanto la sezione intercettata dall'angolo α sul cerchio di raggio R centrato in E non è AB ma AF (secondo disegno), che è più piccola. Tenendo conto di questo, la distanza si riduce.

 Non sappiamo dove si trovava il Sole durante l'eclisse del 129 a.C., ma comunque doveva trovarsi sull'eclittica (come dice il nome!), e quindi entro 23,5° dall'equatore celeste, da una parte o dall'altra. Assumendo che fosse sull'equatore (cioè che si trovasse a perpendicolo sull'equatore terrestre) e, secondo la cronaca delle osservazioni, in direzione sud (cioè l'eclisse avvenne verso mezzogiorno), si può fare una stima grossolana della correzione da apportare, usando della semplice trigonometria (ved. la sezione M-8).

 L'Ellesponto è situato a una latitudine di circa 40 gradi, e, come mostra il disegno, questo valore è anche quello dell'angolo tra la direzione della Luna e lo zenit. Dal disegno (il punto indica la moltiplicazione)

Ripetendo il calcolo precedente per AF

e alla fine

Nota     (15 Ott. 2004)

    Mr. Dubal ha un sito http://www.archaeometry.org con un collegamento a un elenco in cui ha ricostruito località, durate, date e orari di antiche eclissi. Per una discussione approfondita riguardo l'uso di questa e di altre antiche eclissi per ricavare l'andamento della rotazione terrestre, si può consultare una sua pagina Web qui.

Commenti finali

  In mancanza di un cronometraggio accurato, è quasi garantito che il metodo produca una sovrastima della distanza. La Terra ruota sotto l'ombra proiettata dalla Luna, per cui quest'ombra si sposta su una larga striscia di territorio, coprendo differenti aree in differenti momenti. L'Ellesponto era soltanto una delle località in cui l'eclisse era totale. Similmente, Alessandria era soltanto una delle località in cui i 4/5 del disco solare erano oscurati. Scegliendo a caso un punto B tra le località del primo gruppo e un punto A tra le località del secondo gruppo, potrebbe ottenersi una linea di base molto più lunga e una distanza (errata) della Luna molto più grande. Il fatto che Alessandria si trovi quasi esattamente a sud dell'Ellesponto non garantisce che il massimo dell'eclisse avvenga nello stesso momento nelle due località, o che comunque i due istanti non siano molto lontani tra loro.

La storia si ripete?

1. Primo, stampate su carta questa pagina con la mappa. Se la qualità della stampa è scadente, usate un righello per tracciare due linee orizzontali corrispondenti alle latitudini 30 (Il Cairo, in Egitto) e 40 (Ankara, in Turchia). In realtà queste linee dovrebbero essere un po' inclinate e curve, ma, in questo calcolo grossolano, l'inclinazione può essere ignorata.
   
   
2. Con il righello misurate la distanza tra le due linee. Questa distanza corrisponde a 10 gradi di latitudine.
   
   
3. Segnate sulla vostra mappa un punto sul bordo meridionale del Mar Nero, dove passa la linea di totalità. Ai tempi di Ipparco, lì vi era la città di Eraclea, e Ipparco potrebbe aver usato tale città invece dell'Ellesponto, se la sua eclisse fosse stata simile a quella del 1999.
   
   
4. Misurate, sempre con il vostro righello, la distanza da Alessandria fino al punto che avete segnato sulla linea di totalità. Usate la scala che avevate calcolato per ricavare la corrispondente distanza, misurata in gradi di latitudine.
   
   
5. L'eclisse si verificò l'11 di agosto, circa a metà strada tra il solstizio estivo e l'equinozio di autunno. A mezzogiorno del giorno del solstizio d'estate, il 21 giugno, il Sole si trova a 23,5° a nord dell'equatore celeste; all'equinozio di autunno, il 21 settembre, si trova invece esattamente sull'equatore celeste.
   
       L'11 agosto, il Sole si troverà circa a metà strada tra questi due estremi, circa 12° a nord dell'equatore. La località scelta per la totalità si trova a una latitudine di circa 42°, per cui in quel sito a mezzogiorno l'angolo tra lo zenit e la direzione del Sole è di circa (42-12) = 30°. Per il coseno di questo angolo, si può vedere qui.
   
   
6. Poiché ad Alessandria il Sole era eclissato per il 71%, e assumendo che anche il bordo della Luna avesse raggiunto il 71% del suo percorso sul disco solare (ad essere precisi, i due valori non sono uguali), si può eseguire ora il calcolo di Ipparco per l'eclisse del 1999.

    Le linee di vista dalle due località al bordo della Luna, nel momento massimo dell'eclisse, formavano quindi un angolo pari al 19% del diametro visuale del Sole -- valore molto vicino al 20% ottenuto da Ipparco!

    Come si vede dalla mappa, il percorso della totalità l'11 agosto 1999 passava su Bucarest, la capitale della Romania. Il governo romeno volle commemorare l'evento riproducendo una mappa con la striscia di totalità sulla Romania (proseguendo quella disegnata più sopra in questa pagina) su una banconota da 2000 Lei. Si può fare clic qui per vedere un'immagine di quella banconota (occupa circa 70 Kb di memoria).

  Ulteriori dettagli su questa eclisse si possono trovare sul sito

         http://sunearth.gsfc.nasa.gov/eclipse/TSE1999TSE1999.html.
e su
           http://umbra.nascom.nasa.gov/eclipse/990811/rp.html.

Un sito Web relativo all'eclisse del 26 febbraio 1998, realizzato dalla rivista "Sky and Telescope", di tipo "fumetto", fornisce molti dettagli validi in generale per ogni eclisse solare.