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(20) La Teoria di Newton della "Gravitazione Universale"

La Luna orbita intorno alla Terra. Poiché le sue dimensioni non sembrano variare, la sua distanza rimane circa la stessa, e la sua orbita è pressoché circolare. Perché la Luna si mantenga su questa orbita circolare -- anziché vagare nello spazio -- la Terra deve esercitare sul nostro satellite una attrazione, che Newton chiamò forza di gravità.

Si tratta della stessa forza che attrae gli oggetti verso il basso?

Per tradizione, questa domanda si affacciò alla mente di Newton, osservando una mela che cadeva da un albero. John Conduitt, assistente di Newton alla Zecca Reale e marito di una nipote di Newton, scrisse queste parole nel suo racconto della vita del grande scienziato:



    Nell'anno 1666 si era di nuovo ritirato da Cambridge ... presso sua madre nel Lincolnshire, e, mentre stava meditando in un giardino, gli venne in mente che la forza di gravità (che aveva fatto cadere a terra una mela da un albero) non fosse limitata a una certa distanza dalla Terra, ma piuttosto il suo potere si poteva estendere molto più oltre di quanto si pensasse generalmente. E, disse tra sé e sé, perché non fino alla Luna, e, in tal caso, avrebbe influenzato il suo moto e forse l'avrebbe mantenuta sulla sua orbita. Dopodiché si mise a calcolare quale potrebbe essere stato l'effetto di questa interazione...
  (Keesing, R.G., The History of Newton's apple tree,
  Contemporary Physics, 39, 377-91, 1998)


Se effettivamente si trattava della stessa forza, allora doveva esistere una connessione tra il modo con cui cadono gli oggetti e il movimento della Luna attorno alla Terra, cioè la sua distanza e il periodo orbitale. Il periodo orbitale è noto -- è il mese lunare, corretto per il moto della Terra attorno al Sole, che influenza anche l'intervallo di tempo tra una "Luna Nuova" e la successiva. La distanza era stata stimata per la prima volta nell'antica Grecia (ved. qui e qui).

Per calcolare la forza di gravità esercitata sulla Luna, occorre anche sapere di quanto la forza si è indebolita alla distanza della Luna. Newton dimostrò che, se la gravità a una distanza R è proporzionale a 1/R2 (cioè che varia con "l'inverso del quadrato della distanza"), allora l'accelerazione g misurata sulla superficie terrestre ci permette di predire correttamente il periodo orbitale T della Luna.

Newton andò oltre e suggerì che la gravità fosse una forza "universale", e che fosse la forza di gravità del Sole a mantenere in orbita i pianeti. Egli fu anche in grado di dimostrare che le leggi di Keplero erano la conseguenza naturale della "legge dell'inverso del quadrato della distanza", e anche oggi tutti i calcoli delle orbite dei pianeti e dei satelliti si basano su questi assunti.

Ai nostri giorni, gli studenti che ricavano le leggi di Keplero dalla "legge dell'inverso del quadrato della distanza", usano il calcolo differenziale, uno strumento matematico alla cui realizzazione Newton ha avuto un ruolo notevole. È interessante notare, comunque, che la dimostrazione pubblicata da Newton non faceva uso del calcolo differenziale, ma si basava su intricate proprietà delle ellissi e delle altre sezioni coniche. Richard Feynman, un fisico anticonformista, premio Nobel, ricavò di nuovo la dimostrazione (come anche avevano fatto alcuni suoi illustri predecessori); ved. in proposito i riferimenti in fondo a questa sezione.

Qui ora ripercorreremo le tappe del calcolo che correla la gravità osservata sulla Terra con il moto della Luna attraverso il cielo, due tipi di osservazioni apparentemente non correlate. Per seguire bene i passaggi di questo calcolo, è opportuno munirsi di una calcolatrice.

Come calcolare il moto della Luna

Assumiamo che il moto della Luna sia circolare, e che l'attrazione terrestre sia sempre diretta verso il centro della Terra. Sia Rt il raggio medio della Terra (stimato per la prima volta da Eratostene) pari a

Rt= 6 371 km

La distanza R della Luna è quindi circa 60 Rt . Se una massa m sulla Terra è attratta da una forza mg, e se vale la "legge dell'inverso del quadrato" di Newton, allora l'attrazione della stessa massa alla distanza della Luna sarà 602 = 3600 volte più debole e sarà uguale a

mg/3600

Se m è la massa della Luna, è questa la forza che mantiene la Luna sulla sua orbita. Se l'orbita lunare è circolare, poiché R = 60 Rt , allora la sua lunghezza è

2 π R = 120 π Rt

Supponiamo che il tempo impiegato a compiere un'orbita sia T secondi. La velocità v del moto è quindi

v = distanza/tempo = 120 π Rt/T

(Da notare: non è la gravità che fornisce alla Luna la sua velocità. Qualunque sia la velocità della Luna, è probabilmente quella che aveva quando si è formata. Ma è la gravità che impedisce alla Luna di sfuggire via, e che la mantiene sulla sua orbita).

La forza centripeta che mantiene la Luna sulla sua orbita deve essere quindi uguale a

mv2/R = mv2/(60 Rt)

e se è la gravità terrestre a fornire tale forza, allora

mg/3600 = mv2/(60 Rt)

dividendo ambo i membri per m e poi moltiplicandoli per 60, l'espressione si riduce a

g/60 = v2/Rt = (120 π Rt)2/(T2 Rt)

Eliminando un fattore Rt , moltiplicando ambo i membri per 60 T2 e dividendoli per g, si ottiene

T2 = (864 000 π2 Rt)/g = 864 000 Rt (π2/g)

Provvidenzialmente, nelle unità di misura usate, g ~ 9,81 è molto prossimo a π2 ~ 9,87, per cui il termine tra parentesi è prossimo a 1 e può essere eliminato. Si ottiene (sostituendo i valori numerici)

T2 = (864 000) (6 371 000)

Con una calcolatrice, è facile trovare la radice quadrata dei due termini. Otteniamo (con una accuratezza di 4 cifre significative)

864 000 = (929,5)2       6 371 000 = (2524)2

E pertanto

T ≈ (929,5) (2524) = 2 346 058 secondi

Per ottenere T in giorni, dividiamo per 86400, il numero di secondi in un giorno, e abbiamo

T = 27,153 giorni

molto vicino al valore reale

T = 27,3217 giorni


        Il calcolo svolto qui sembra semplice e immediato. Tuttavia, esso fa una assunzione che oggi accettiamo senza pensarci due volte: che l'attrazione terrestre sia equivalente a quella che esisterebbe se tutta la massa terrestre fosse concentrata nel suo centro.

        Questo non era del tutto ovvio per Newton, Quella mela che cadeva... d'accordo, vi era una massa che l'attraeva verso il basso, però vi erano anche delle masse che l'attraevano lateralmente in tutte le direzioni, forze di attrazione che per lo più si annullavano a vicenda. Anche se la risultante di tutte le attrazioni puntava verso il centro della Terra, chi poteva dire che essa obbediva alla stessa legge dell'inverso del quadrato come se fosse una massa concentrata tutta in un punto? Newton non si fidò del calcolo illustrato precedentemente finché non riuscì a dimostrare, con grande soddisfazione, che l'attrazione terrestre poteva essere sempre considerata equivalente all'attrazione di una massa concentrata nel suo centro.

        Fare una scoperta spesso comporta annaspare e buttarsi a indovinare, prima che emerga un quadro chiaro e preciso. Noi, che conosciamo questo quadro e lo diamo per scontato, potremo considerare la scoperta piuttosto ovvia. Ma all'inizio non doveva sembrare affatto così.


   

La formula della forza di gravità

    Newton correttamente considerò tutto questo come una conferma della "legge dell'inverso del quadrato delle distanze". Egli suggerì che una forza di gravitazione "universale" F esistesse tra due masse m e M, diretta da una verso l'altra, proporzionale alla massa di ciascuna e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza r. In formula (trascurando per il momento il carattere vettoriale della forza):

F   =   G   mM/r2

Supponiamo che M sia la massa della Terra, R il suo raggio e m la massa di un oggetto che cada vicino alla superficie terrestre. Si può allora scrivere

F   =   m   GM/R2   =   m g

Da cui

g   =   GM/R2

    La lettera maiuscola G è nota come la costante universale di gravitazione. È questo il numero che occorre per calcolare l'attrazione gravitazionale tra, diciamo, due sfere di 1 chilogrammo ciascuna. A differenza dell'attrazione della Terra, che ha un'enorme massa M, questa forza è piuttosto piccola, e il numero G è anch'esso molto, molto piccolo. Misurare una così piccola forza in laboratorio è un'impresa difficile e delicata.

Ci volle più di un secolo prima che ci si riuscisse. Soltanto nel 1796, un connazionale di Newton, Henry Cavendish, misurò effettivamente questa debole attrazione gravitazionale, notando la leggera torsione che subiva un bilanciere sospeso a un lungo spago, quando uno dei suoi pesi era attratto dalla gravità di un terzo oggetto pesante. Un secolo dopo (come si era già fatto notare) il fisico ungherese Roland Eötvös migliorò notevolmente l'accuratezza di questo tipo di misure.

La gravità nella nostra galassia         (Facoltativo)

    Ovviamente, la gravità si estende molto al di là della Luna. Lo stesso Newton dimostrò che la legge dell'inverso del quadrato della distanza spiegava anche le leggi di Keplero -- per esempio, la terza legge, per la quale il moto dei pianeti è tanto più lento, quanto più i pianeti sono lontani dal Sole.

    Che cosa si può dire per distanze ancora più grandi? Il Sistema Solare fa parte della Via Lattea, una galassia, cioè un enorme insieme di stelle, a forma di disco, con un raggio di circa 100 000 anni luce. Trovandoci all'interno di questo disco, noi lo vediamo di profilo, cosicché la luce delle sue stelle lontane ci appare come un anello luminoso che corre tutto intorno al cielo, noto già dai tempi antichi come la Via Lattea. Con un telescopio si possono vedere molte altre galassie lontane, in tutte le direzioni. La loro luce mostra (mediante "l'effetto Dopller") che esse ruotano lentamente.

    È la gravità che tiene insieme le galassie. Almeno la nostra galassia sembra avere al suo centro un enorme buco nero, una massa vari milioni di volte quella del nostro Sole, con una gravità così intensa che neppure la luce riesce a sfuggirgli. Le stelle sono molto più fitte vicino al centro della nostra galassia, e, oltre a quelle visibili, le galassie possono anche contenere delle stelle scure ormai esaurite e del gas. Pertanto, a differenza del Sistema Solare, le galassie possono non avere un centro di attrazione compatto, ma diversi centri sparsi qua e là. Forse questo spiega perché la loro rotazione non assomiglia a quella del Sistema Solare, che è veloce vicino al centro, e molto più lenta all'aumentare della distanza dal centro. Al contrario, eccetto che vicino ai bordi, le galassie tendono a ruotare piuttosto uniformemente. Ma comunque abbiamo ancora tanto da imparare sull'argoment

Ulteriori approfondimenti

Un sito sulla storia che l'ispirazione di Newton a proposito della forza di gravità gli venne osservando una mela cadere dall'albero.

Un articolo dettagliato: Keesing, R.G., The History of Newton's apple tree (La storia dell'albero di mele di Newton), Contemporary Physics, 39, 377-91, 1998.

I calcoli di Richard Feynman si possono trovare nel libro "Feynman's Lost Lecture: The Motion of Planets Around the Sun" (La lezione perduta di Feynman: Il moto dei pianeti attorno al Sole) di D. L Goodstein e J. R. Goodstein (Norton, 1996; recensito da Paul Murdin in Nature, vol. 380, p. 680, 25 Aprile 1996). Il calcolo è anche descritto e sviluppato in "On Feynman's analysis of the geometry of Keplerian orbits" (Sull'analisi di Feynman della geometria delle orbite kepleriane) di M. Kowen e H. Mathur, Amer. J. of Physics, 71, 397-401, Aprile 2003.

Un articolo su una rivista didattica sugli argomenti discussi sopra: The great law (La Grande Legge) di V. Kuznetsov. Quantum, Sett-Ott. 1999, p. 38-41.

Domande poste dagli utenti:   Quanto è la gravità al centro della Terra?  
                Un'altra domanda:  La gravità può aumentare con la profondità?
       E ancora:   Perché esiste la gravità?

Il prossimo argomento: (21) La terza legge di Keplero

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Autore e Curatore:   Dr. David P. Stern
     Ci si può rivolgere al Dr. Stern per posta elettronica (in inglese, per favore!):   stargaze("chiocciola")phy6.org

Traduzione in lingua italiana di Giuliano Pinto

Aggiornato al 14 Agosto 2005