(Questa linea è chiamata talvolta il "raggio vettore").
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Uno schema che illustra la seconda legge di Keplero: i tratti di orbita AB e CD sono percorsi in tempi uguali. |
Un'ellisse è un ovale allungato simmetrico, con due fuochi situati simmetricamente verso le estrtemità "più incurvate" -- in un fuoco c'è il Sole, l'altro è vuoto. (Provate a disegnare un'ellisse fatta così).
Se avviciniamo sempre di più i due fuochi tra loro, l'ellisse tende a trasformarsi sempre di più in una circonferenza, e quando i due fuochi si sovrappongono, abbiamo esattamente una circonferenza.
[L'orbita terrestre, come la maggior parte delle orbite planetarie, è molto prossima a una circonferenza. Se si guardasse l'orbita della Terra, senza il Sole nel fuoco, sarebbe molto difficile accorgersi che non è esattamente circolare. Con il Sole presente, tuttavia, ci si accorgerebbe che esso è un po' fuori centro.]
L'aspetto importante della seconda legge di Keplero è che, nonostante l'orbita sia simmetrica, il moto non lo è.
Un pianeta accelera quando si avvicina al Sole, raggiunge la massima velocità quando passa alla minima distanza, e poi rallenta di nuovo.
(La stella S2 raggiunge ben il 2% della velocità della luce quando si avvicina al buco nero al centro della nostra galassia).
Si comprende meglio quanto accade in termini di energia. Quando il pianeta si allontana dal Sole (o un satellite dalla Terra), esso perde energia per vincere la forza di gravità, e quindi rallenta, come fa un sasso quando viene lanciato verso l'alto. E come il sasso, riguadagna la sua energia (completamente, non essendoci la resistenza dell'aria nello spazio) quando ritorna indietro.
Vi è qui un utile esercizio, che è anche nella sezione #12A
http://www.phy6.org/stargaze/Ikepl2A.htm
Supponiamo di avere un pianeta per il quale la minima e la massima distanza dal Sole siano r1 e r2 --esse corrispondono rispettivamente al perielio e all'afelio, se il centro del moto è il Sole, oppure al perigeo e all'apogeo, se il centro del moto è la Terra. (Le distanze sono sempre misurate dal centro dei corpi celesti, oppure dal centro di gravità).
Diciamo che si tratti di un pianeta in orbita attorno al Sole. Allora: -- la velocità V1 al perielio è la massima raggiunta nel suo moto orbitale. Corrisponde alla distanza percorsa in un secondo nei pressi del perielio. -- la velocità V2 all'afelio è la minima raggiunta, e corrisponde quindi alla distanza percorsa in un secondo nei pressi dell'afelio.
L'area spazzata dal "raggio vettore" r durante un secondo dopo il passaggio al perielio è quella di un triangolo rettangolo di base V1, e che quindi è pari a 0,5 r1 V1.
L'area spazzata dal "raggio vettore" r durante un secondo dopo il passaggio all'afelio è quella di un triangolo rettangolo di base V2, e che quindi è pari a 0,5 r2 V1.
Per la legge delle aree, le due aree sono uguali, per cui
r1 V1 =
r2 V2
Dividendo entrambi i membri per r1V2
otteniamo
V1:V2 =
r2:r1
Se la distanza dell'afelio r2 è 3 volte quella del perielio, la velocità V2 all'afelio sarà 3 volte più lenta.
(Nota: questa proporzionalità vale solo per questi due punti dell'orbita. Per gli altri punti la velocità e il raggio vettore non sono perpendicolari).
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Quando è che siamo più vicini al Sole? Attorno al 4 gennaio, di una quantità pari a circa l'1,5%, non abbastanza per notare una differenza nell'aspetto del Sole.
C'è un metodo rapido per verificare questa asimmetria (benché potreste non avere tempo di trattarlo in classe). Disegnate un'ellisse con il suo asse maggiore e una linea perpendicolare ad esso passante per il Sole.
Avviene (per puro caso) che gli equinozi di primavera e autunno, quando le durate del giorno e della notte sono uguali, in genere il 21 marzo e attorno al 22 o 23 settembre, cadano molto vicini a quella linea perpendicolare.
Date un'occhiata allo schema dell'orbita terrestre nella sezione (3). L'asse maggiore (come definito precedentemente) è la linea che congiunge i punti contrassegnati con "Dicembre" e "Giugno" nel disegno, e la perpendicolare a quel segmento è la linea che congiunge "Marzo" con "Settembre".
Se l'orbita fosse esattamente circolare (nel qual caso quello che chiamiamo "asse maggiore" sarebbe completamente arbitrario, in quanto tutti i diametri sono uguali), allora, per la seconda legge di Keplero, la Terra si muoverebbe a velocità costante e passerebbe lo stesso tempo nella metà estiva e nella metà invernale della sua orbita. In realtà, invece, la Terra sta due giorni in più nella metà invernale! (Prendete un calendario e contate i giorni che passano tra un equinozio e l'altro). Questo può significare che
- La metà invernale è più corta, oppure
- La Terra si muove più velocemente nella metà invernale
Effettivamente, sono vere tutte e due queste condizioni, se la Terra raggiunge la sua minima distanza dal Sole attorno al 4 gennaio. La "metà" dell'ellisse (determinata dalla linea perpendicolare definita qui sopra) che è più vicina al Sole è in realtà più piccola (lo si può verificare disegnando un'ellisse marcatamente ovalizzata), e, per la seconda legge di Keplero, la Terra si muove più rapidamente quando è più vicina al Sole.
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Il fatto che l'emisfero boreale è più vicino al Sole in pieno inverno ed è invece alla sua massima distanza dal Sole in estate, rende meno estreme le stagioni, facendole più miti.
Nell'emisfero australe, le stagioni sarebbero più esasperate, ma la presenza dei vasti oceani attenua questo effetto.
Però l'asse di rotazione della Terra si muove lungo un cono in circa 26000 anni. Fra 13000 anni saremo più vicini al Sole in piena estate, e il clima sarà più esasperato. Come è descritto nella sezione 7, questo effetto potrebbe essere collegato all'origine delle ere glaciali, ma non entreremo adesso in questi dettagli.
La terza legge di Keplero
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